Фактор неабелевой группы по абелевой

[lena7]

Пусть $G/N\simeq Q$, где $N, Q$ -- абелевы. Следует ли из этого, что $G$ -- абелева?

Я умею доказывать, если $Q$ -- циклическая (в этом случае утверждение верно). А как действовать в общем случае?

[Xaositect]

Хмм, а как у Вас получилось для циклической? Посмотрите внимательно на группу $S_3$.

[VAL]

lena7 в сообщении #713300 писал(а):

Пусть $G/N\simeq Q$, где $N, Q$ -- абелевы. Следует ли из этого, что $G$ -- абелева?

Я умею доказывать, если $Q$ -- циклическая (в этом случае утверждение верно).

Точно?! А как быть со случаем $S_3/A_3$?

-- 20 апр 2013, 21:26 --

Не успел

[lena7]

Я рассуждала так. Если $G/N$ циклическая с порождающим $aN$, то для любых $g_1,g_2\in G$ имеем $g_1=a^k t_1$, $g_2=a^m t_2$ для некоторых $t_1,t_2\in N$. Тогда $g_1 g_2=a^k t_1 a^m t_2 = g_2 g_1$.

Ошибка в последнем равенстве -- я незаконно переставляла $t_i$ и $a$.

Усилим условие: пусть $N$ содержится в центре группы $G$, то есть коммутирует со всем. Тогда доказательство для циклических прокатит (если других ляпов нет). Следует ли теперь из абелевости $Q$ абелевость $G$?

[AV_77]

Факторгруппа некоммутативной группы по центру не может быть циклической, но может быть нециклической абелевой группой. Как пример - группа кватернионов.