Неравенство.

[pandreym]

Доброй ночи.
Есть такое неравенство:
$x^1x^2u^1 + x^2u^2$ $\le$ C($|x| + 1$) где $-1 \le u^1 \le 1$, $ -1 \le u^2 \le 1$.
Как его проверить, и вообще верное оно или нет?
$|x|$ = sqrt($(x^1)^2$ + $(x^2)^2$)

$x^1, x^2$ произвольные от (-inf, +inf)

-- 18.04.2013, 04:17 --

[AV_77]

Здесь $C$ - константа? Берем $u^1 = 1, u^2 = 0, x^1 = x^2 = x$. Тогда неравенство превращается в $x^2 \leq C(1 + x \sqrt{2})$. Очевидно, что это не верно.

[bot]

У Вас ведь первое слагаемое в левой части второго порядка, а все остальные первого (при фиксированных $u$). Вот и отправьте это слагаемое в даль светлую.
А может быть $x^2$ в первое слагаемое у Вас ошибочно попало? Тогда, очевидно, единица в правой части лишняя, а за $C$ можно взять 1.

[Shadow]

Кажется ТС взял оригинальное решение писать верхние индексы вместо нижних и получил недоразумение с квадратом. Наверное имел ввиду

$\\x_1x_2u_1+x^2u_2 \le C(x+1)\\ \\ x=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$

-- 18.04.2013, 09:00 --

Не, все равно глупость получается. Что за C?

[bot]

Shadow в сообщении #711988 писал(а):

Кажется ТС взял оригинальное решение писать верхние индексы вместо нижних

Ну это не так уж и оригинально, а в данном контексте очевидно так и есть, иначе зачем писать $x^1$ и тем более $(x^1)^2$? С константой тоже понятно - существует ли такая?

[pandreym]

С - да, существует ли такая.
с индексами, проверил, вроде все верно. Да и со слагаемыми, это просто проверка одной теоремы для конкретной системы, и там именно так и получается что одно слагаемое второго порядка, а другое первого(при фиксированных u)

[provincialka]

Может, лучше не маяться с индексами, а (временно) обозначить переменные просто буквами? Как-то так:

Существует ли $C$ такое, что для всех $x, y$ и для $-1<u<1, -1<v<1$ выполняется
$xyu + yv \le C(\sqrt{x^2+y^2}+1)$

[pandreym]

без проблем и еще неравенства - нестрогие.

[Shadow]

Или так?
$xyu + (x^2+y^2)v \le C(\sqrt{x^2+y^2}+1)$

Просто у Вас там $x^2$ и непонятно то ли икс в квадрате, то ли икс два? Оба существуют

[provincialka]

Можно поставить задачу как задачу о наибольшем значении, а именно, $C\ge \frac{xyu+\sqrt{x^2+y^2}v}{\sqrt{x^2+y^2}+1}$, значит, за $C$ можно взять экстремум дроби. Только считать неохота, выражение какое-то корявенькое. Тем более, неоднородное. В крайнем случае можно перейти к полярным координатам (для $x, y$).
Но, может, Вам не нужно точное значение, а нужна только сама ограниченность дроби?
Вообще-то на это не похоже, потому что в знаменателе функция "первого порядка" относительно $x, y$, а в числителе - второго.
Возьмем, например, $x=y$, дробь равна $ \frac{x^2u+x\sqrt{2}v}{x\sqrt{2}+1}\to \infty$, при $x\to\infty$

[pandreym]

именно $x^2$ (икс два), НЕ в квадрате.
те не как у Вас, а как у provincialka

-- 18.04.2013, 16:02 --

мне нужно проверить выполняется ли это или нет. по идее - должно выполняться. те есть ли такая константа, или нет.

"нужно точное значение, а нужна только сама ограниченность дроби? " да. сама константа не важна.

[provincialka]

Смотрите дополнение. На бесконечности квадратичное выражение не может ограничиваться линейным.

[pandreym]

Ок. Постараюсь разобраться.
Спасибо.

[provincialka]

А может быть, что в условии ошибка? Какое-то оно несимметричное! Большое подозрение, чтов первом слагаемом не должно быть $y$, т.е. $x^2$.
Тогда слева стоит скалярное произведение двух векторов, $x$ и $u$, которое не превосходит произведения норм. Значит, в качестве $C$ можно взять $\sqrt 2$

[pandreym]

Система такова
$ \begin{aligned} \dot x^1 &= u^1 \cdot x^2 \\ \dot x^2 &= u^2.\\ \end{aligned} $

c областью управления, определяемой неравенствами:
$ $-1 \le u^1 \le 1$, $ -1 \le u^2 \le 1$. $

В условии теоремы написано что при всех x, t, u(u принадлежит указанному множеству) должно выполняться
$ $x \cdot f(t,{\mathbf x}, {\mathbf u}) \le C(|x|^2 + 1)$$

Получается что теорема не применима.