Найти распределение случайного вектора по его компонентам

[yasvoboden]

Дан случайный вектор $\xi \left ( x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n} \right )$
Его компоненты зависимы, при чем $ r_{ij} = 1$ (коэффицент корреляции) между любыми компонентами соответственно. Плотность распределения $ f_{i}(x_{i})$ каждой компоненты известна. Необходимо найти плотность распределения случайного вектора $f_{\xi } \left ( x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n} \right )$ (то есть совместную плотность распределения компонент). В общем случае везде сказано, что это невозможно. Но у нас же коэффицент корреляции = 1 ...
Искал в интернете, везде нужна условная плотность распределения. А у нас даны только безусловные.
Подскажите, возможно ли вообще найти совместную плотность при данных условиях. Может кто-нибудь встречал статью или книгу с решением данной задачи.

[Евгений Машеров]

Ну, так если все коэффициенты корреляции единицы, то у Вас одномерная случайная величина и n линейных функций от неё. Распределения компонент отличаются матожиданием и дисперсией.

[yasvoboden]

Мне нужно посчитать совместную плотность распределения случайного вектора $f_{\xi } \left ( x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n} \right )$.
Я понимаю, что у нас линейная зависимость. Если бы компоненты были независимы, то было бы просто перемножение одномерных плотностей $f_{\xi }(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f_{x_{1}}(x_{1}) \cdotf_{x_{2}}(x_{2}) \cdot... \cdot f_{x_{n}}(x_{n})$. Распределение компонент известно по условию. Мне нужно распределение случайного вектора.
По идее линейная зависимость должна сделать нашу задачу решаемой, но как найти распределение вектора из линейно зависимых компонент нигде не нахожу.

[--mS--]

Плотности у этого вектора не существует (если речь идёт об абсолютно непрерывных распределениях).

[yasvoboden]

А как же быть с самим вектором? Его тоже не существует? У него нет распределения?

[--mS--]

Он существует, и у него есть распределение. Вот только плотности у него (по лебеговой мере) нет. Распределение сосредоточено на некоторой прямой в $n$-мерном пространстве. Дельта-функцией можно описать, конечно, но вряд ли это то, что нужно.

Например, в дискретном случае пусть есть три компоненты $\xi_1=\xi$, $\xi_2=a\xi+b$, $\xi_3=c\xi+d$, где $a>0$, $c>0$. Для каждого значения $\xi=x$ вектор определен однозначно: $(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=(x,\,ax+b,\,cx+d)$; и его распределение на множестве таких значений полностью определяется первой компонентой:

$$\mathsf P((\xi_1,\xi_2,\xi_3)=(x,\,ax+b,\,cx+d))=\mathsf P(\xi=x),$$

а в остальных точках, не связанных линейно, вероятности нулевые: $\mathsf P((\xi_1,\xi_2,\xi_3)=(x,\,y,\,z))=0$ при $y\neq ax+b$ или $z\neq cx+d$.

[yasvoboden]

Раз у вектора нет плотности, то как быть с функцией распределения? Не может же она равняться функции распределения $F_{x_{1}}(x_{1})$? Вообще помимо плотности распределения ( а по ходу, теперь функции распределения) меня интересует n-мерный интеграл:
$\int \int \int ...\int \omega_{\xi}(x_{1},x_{n},...,x_{n})\cdot f(x_{1},x_{n},...,x_{n}) dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$ , где $\omega_{\xi}(x_{1},x_{n},...,x_{n})$ - я обозвал совместную плотность распределения вектора, а функция $f(x_{1},x_{n},...,x_{n}) $ - некоторая заданная функция от компонент $x_{1},x_{n},...,x_{n} $( например, функция произведения их плотностей).

[--mS--]

Может равняться и $F_{\xi_1}(x_1)$ - при некоторых $x_1$. Только зачем Вам функция распределения? Её и найти не проблема:

$$F_\xi(\vec x)=\mathsf P(\xi_1 < x_1,\, k_2\xi_1+b_2< x_2,\, \ldots,\, k_n\xi_1+b_n<x_n)=\mathsf P\left(\xi_1 < \min\left\{x_1, \frac{x_2-b_2}{k_2}, \ldots, \frac{x_n-b_n}{k_n}\right\}\right) = $$ $$=F_{\xi_1}\left(\min\left\{x_1, \frac{x_2-b_2}{k_2}, \ldots, \frac{x_n-b_n}{k_n}\right\}\right) .$$

Все $k_i$ выше положительны.

Что должен вычислять интеграл (область интегрирования Вы не написали), который Вам нужен? Математическое ожидание функции от вектора? Ну так это (другая) функция от одной координаты $\xi_1$, по этой координате и интегрируйте:

$$ \mathsf E f(\xi_1,\ldots,\xi_n) = \mathsf E f(\xi_1,\, k_2\xi_1+b_2,\,\ldots,\,k_n\xi_1+b_n) = \int_{\mathbb R}f(x,\, k_2x+b_2,\, \ldots,\, k_nx+b_n)f_{\xi_1}(x)dx. $$

[Евгений Машеров]

Ну, можно написать нечто в роде
$f_\xi(x_1,x_2,\ldots,f_n)=g(x_1)\delta(x_2-a_2-b_2x_1)\ldots\delta(x_n-a_n-b_nx_1)$

(Оффтоп)

Но задам вопрос Андрея Вознесенского "на фига"?

Где $a_i$ и $b_i$ коэффициенты регрессии соответствующих переменных на первую (разумеется, не обязательно именно первую по порядку, на произвольно выбранную)

[--mS--]

--mS-- в сообщении #711300 писал(а):

Распределение сосредоточено на некоторой прямой в $n$-мерном пространстве. Дельта-функцией можно описать, конечно, но вряд ли это то, что нужно.

Полагаете, повторенье - мать учения?

[Евгений Машеров]

Ну, так реакции на объяснение не видно...

[yasvoboden]

--mS-- в сообщении #711377 писал(а):

Может равняться и $F_{\xi_1}(x_1)$ - при некоторых $x_1$. Только зачем Вам функция распределения? Её и найти не проблема:

$$F_\xi(\vec x)=\mathsf P(\xi_1 < x_1,\, k_2\xi_1+b_2< x_2,\, \ldots,\, k_n\xi_1+b_n<x_n)=\mathsf P\left(\xi_1 < \min\left\{x_1, \frac{x_2-b_2}{k_2}, \ldots, \frac{x_n-b_n}{k_n}\right\}\right) = $$ $$=F_{\xi_1}\left(\min\left\{x_1, \frac{x_2-b_2}{k_2}, \ldots, \frac{x_n-b_n}{k_n}\right\}\right) .$$

Все $k_i$ выше положительны.

Что должен вычислять интеграл (область интегрирования Вы не написали), который Вам нужен? Математическое ожидание функции от вектора? Ну так это (другая) функция от одной координаты $\xi_1$, по этой координате и интегрируйте:

$$ \mathsf E f(\xi_1,\ldots,\xi_n) = \mathsf E f(\xi_1,\, k_2\xi_1+b_2,\,\ldots,\,k_n\xi_1+b_n) = \int_{\mathbb R}f(x,\, k_2x+b_2,\, \ldots,\, k_nx+b_n)f_{\xi_1}(x)dx. $$

--mS-- Да, интеграл меня интересует от 0 до бесконечности, по сути мат ожидание( я уточнил у преподавателя).
Сама совместная плотность распределения мне нужна для вычисления приведенного мною интеграла.
Буду благодарен, если дадите пояснения поподробнее ( или укажете источник, где посмотреть) как вы перешли к вашему (одномерному?) интегралу.
Евгений Машеров Дайте пожалуйста пояснения, как получили такой интеграл от дельта функции (или указание где посмотреть).
Вообще, не откажусь от любых пояснений по моей задаче.

-- 17.04.2013, 19:45 --

Евгений Машеров Вы правильно записали интеграл? Там$ f_{\xi} (x_{1},x_{2},x_{3},...f_{n})$ , в конце $f_{n}$? Или все же опечатка и будет $ f_{\xi} (x_{1},x_{2},x_{3},...x_{n})$

[--mS--]

Давайте и Вы немного поработаете: напишите, как Вы будете с помощью интеграла вычислять математическое ожидание следующих величин, если плотность распределения $\xi$ дана и равна $f_\xi(x)$:

1) $\xi^3$;
2) $\xi+(5\xi+1)^2$;
3) $g(\xi)$, где $g: \mathbb R \to \mathbb R$ - измеримая функция;
4) $g(\xi,\, 5\xi+1)$, где $g: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ - измеримая функция.

А то разъяснения грозят никогда не кончиться. Уже до определения матожидания добрались.

[Евгений Машеров]

$x_n$, конечно. Сорри за опечатку.

[--mS--]

А где там был "интеграл"?