Вычислить предел

[sup]

Данный предел эквивалентен следующему
$\lim \limits_{x \to 0} \frac {e^x - 1 - x}{x^2} = \frac {1}{2}$
Положим
$F(x) = \frac {e^x - 1 - x}{x^2}$
Легко видеть, что
$F(2x) > \frac {1}{4}(1 + 2F(x))$
Отсюда следует, что если предел существует то он равен 1/2.
С другой стороны есть и оценка сверху.
$F(2x) < \frac {1}{4}(1 + 2e^xF(x))$
Отсюда уже должно все получиться

[zychnyy]

sup только не $\frac{1}{2}$, а $-\frac{1}{2}$.

[sup]

То есть я не правильно думаю, что
$e^x = 1 + x + x^2/2 + \dots $
Наверное все же "плюс", а не "минус".

[armez]

zychnyy, "эквивалентен" а не "равен", со знаком проблем нет. Не очень приятно, что используются две оценки, требующие доказательства. Но всё равно спасибо - ещё одна идея.

[armez]

Можно, например, так.
Рассматриваем предел по Гейне. Для произвольной последовательности $x_n \to 0,$ пользуясь тем, что $\lim_{k \to \infty}(1+\frac{x}{k})^k=e^x,$ выбираем при каждом n достаточно большое k=k(n), заменяем $e^{x_n}$ степенью $(1+\frac{x_n}{k})^k,$ и раскладываем её по биному Ньютона (показатель - натуральное число), после чего в числителе происходит взаимное уничтожение. Остаётся только аккуратно обойтись с растущим числом слагаемых.

Фактически, такими рассуждениями из бинома Ньютона выводится, что

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3),$$

и этого достаточно.

[Sinoid]

Да к чему эти все премудрости? Heart-... правильно мысль подал, только под знак логарифма нужно внести еще и предел, а перед этим немного переделать дробь под первым пределом.

[Shtorm]

Sinoid, покажите как, я думаю, уже можно выкладывать решение. Я пробовал таким способом и что-то какая-то несуразица выходит.

[Sinoid]

Ну вот же
$\lim_{\limit{x\to0}}\frac{ln(1+x)-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{ln(1+x)}{x^2}-\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=$
далее

$\frac{\lim_{x\to0}\frac{\frac{ln(1+x)}{x}}{\lim_{x\to0}x}-\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=$
далее

$\frac{\lim_{x\to0}ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\lim_{x\to0}x}-\frac{1}{\lim_{x\to0}x}=\frac{e}{\lim_{x\to0}-\frac{1}{\lim_{x\to0}=...$
Слушайте, скажите, пожалуйста, почему длинные формулы не отображаются? Основной момент вот:$\lim_{X\to0}\frac{ln(1+x)}{x^2}=\frac{e}{\lim_{x\to0}{x}$

[Heart-Shaped Glasses]

Sinoid, у меня отобразился только первый шаг Вашего преобразования (вместо остальных картинок пишет "Source Not Found". Может, если разбить преобразования на более мелкие шаги, тем самым сократив длину исходной формулы для каждого шага, всё заработает?) До него я дошёл, однако далее я не понял, что делать с первым слагаемым, потому что либо я не могу найти предел, либо в итоге получается неопределённость вида "бесконечность минус бесконечность".

[_Ivana]

У меня тоже отобразился только первый шаг, но одного его достаточно, чтобы "начать испытывать внутреннее беспокойство от созерцания разности бесконечностей" (С)

[Sinoid]

Да я как только не пробывал. А когда мышкой на буквы наводишь, показывает код. Короче, главный момент такой: $\lim\limits_{x\to0}\frac{ln(1+x)}{x^2}=\dfrac{1}{\lim\limits_{x\to0}x}$. А перед этим делаешь то, что я в прошлый раз писал.

[Heart-Shaped Glasses]

Sinoid, если я Вас правильно понял, первое слагаемое получится равное бесконечности. Но ведь второе слагаемое тоже равно бесконечности, как быть с неопределённостью "бесконечность минус бесконечность"?

[Sinoid]

Затем первый предел расписываем так: $\lim\limits{x\to0}\frac{ln(1+x)}{x^2}=\frac{\lim\limits_{x\to0}ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\lim\limits_{x\to0}x}$

[Heart-Shaped Glasses]

Sinoid, да, здесь я пока вроде понимаю. А дальше как?

[Sinoid]

У вас под знаком предела окажутся две одинаковые дроби.