Аналог теоремы Чевы для арбелоса Архимеда

[nnosipov]

На прямой, которую будем называть абсолютом, отметим три точки $A$, $B$, $C$ (в этом порядке). Рассмотрим арбелос Архимеда $ABC$, т.е. криволинейный треугольник, образованный полуокружностями с диаметрами $AB$, $BC$ и $CA$ (все полуокружности лежат в одной полуплоскости). Проведём чевианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ --- это дуги окружностей с центрами, лежащими на абсолюте ($A_1$ лежит на полуокружности с диаметром $BC$ и т.д.). Пусть

$$ \lambda_A=\frac{|BA_1|}{|A_1C|}, \quad \lambda_B=\frac{|CB_1|}{|B_1A|}, \quad \lambda_C=\frac{|AC_1|}{|C_1B|}. $$

Теорема. Чевианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ арбелоса $ABC$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $\lambda_A\lambda_B\lambda_C=1$.

Известна ли эта теорема? Если да, то где опубликована?

[BVR]

Не встречал. А лямбды - это отношение длин дуг?

[nnosipov]

BVR в сообщении #707782 писал(а):

А лямбды - это отношение длин дуг?

Нет, это отношения длин хорд.

[BVR]

Шарыгин любил задачи про арбелос и еще у каких-то японцев видел. Сейчас пороюсь, но вряд ли - я бы на такую интересную штучку обратил бы внимание..

[nnosipov]

BVR, посмотрите, буду благодарен.

[BVR]

Поверхностный поиск ничего не дал. А Вы ее уже доказали?
Мой склероз говорит мне, что где-то я видел текст с большим количеством задач на арбелос. Но никак не могу вспомнить... Завтра попробую еще раз. :)

-- Вт апр 09, 2013 22:10:03 --

ЗЫ. Но есть там эта задача или нету - не знаю

[nnosipov]

BVR в сообщении #707834 писал(а):

А Вы ее уже доказали?

Да, ещё осенью. Доказывать там особо нечего, но сам факт забавен.

BVR в сообщении #707834 писал(а):

Завтра попробую еще раз. :)

Окей, спасибо.

[BVR]

Вот статья о свойствах арбелоса (других ) Но там есть список литературы. По-моему №4 может оказаться интересным. Ну и ссылки на ресурсы какие-то...
http://schule.bayernport.com/arbelos/arbelos_06.pdf

[nnosipov]

BVR, уже смотрел её. Есть ещё на wolfram, но и там о других делах. На поверхности вроде не лежит.

[BVR]

Пролистал сборники задач на инверсию. Там есть задачи на арбелос, но этой - нету.
Еще можно Алексей К. попытать. Он много про окружности знает.

[nnosipov]

BVR, спасибо.

[melnikoff]

nnosipov, а не стоит ли Вам небольшую статью написать? Или этой теоремы недостаточно для статьи?

[nnosipov]

melnikoff в сообщении #708510 писал(а):

nnosipov, а не стоит ли Вам небольшую статью написать? Или этой теоремы недостаточно для статьи?

Написал небольшую заметку и уже отправил в журнал "Математическое просвещение". Там пусть разбираются, стоит это публиковать или нет.

[BVR]

А и правильно!