Преобразование Фурье.

[3.14]

Здравствуйте, все участники форума! Вот такое задание : найти преобразование Фурье в $S'$ функции $f(x) = x(x+1) \cos(x)$.
Я начал по определению :

$$ (F[f],\varphi) = (f, F[\varphi]) = \left(f(x), \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} e^{- ixy} \varphi(y) dy \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} x(x+1) \cos(x) \left( \int \limits_{-\infty}^{+\infty} e^{- ixy} \varphi(y) dy \right) dx = $$ $$ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(y) \left( \int \limits_{-\infty}^{+\infty} x(x+1) \cos(x) e^{- ixy} dx \right) dy $$

Мне нужно вычислить вот этот внутренний интеграл. Я попробовал, но у меня не вышло :

$$ \int \limits_{-\infty}^{+\infty} x(x+1) \cos(x) e^{- ixy} dx = \frac{1}{2} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} x(x+1)(e^{ix} + e^{-ix}) e^{- ixy} dx = $$ $$ = \frac{1}{2} \left(\int \limits_{-\infty}^{+\infty} x(x+1) e^{-ix(y-1)} dx + \int \limits_{-\infty}^{+\infty} x(x+1) e^{-ix(y+1)} dx \right) $$

Что дальше делать? Может можно еще как-нибудь по-другому попробовать. Например, если я отдельно знаю преобразование Фурье у функций $x, x+1, \cos(x)$, то можно ли что-нибудь "вытащить", имея эти знания? В общем, жду помощи . Спасибо заранее.

[SpBTimes]

По частям :) Только сходятся ли они?

[3.14]

Просто, когда я беру по частям, нужно подставлять пределы. Тут то и проблемы начинаются.

[ewert]

3.14 в сообщении #707484 писал(а):

Например, если я отдельно знаю преобразование Фурье у функций $x, x+1, \cos(x)$, то можно ли что-нибудь "вытащить", имея эти знания?

$F^{(n)}[f(x)]=(-i)^nF[x^nf(x)]$ (с точностью до знаков -- зависит от того, как определять преобразование Фурье), ну а от дельта-функций производные берутся легко, или, что эквивалентно, вовсе не берутся.

[SpBTimes]

Потому что интеграл расходится. Так менять порядок интегрирования нельзя. Ведь функция $\varphi(y)$ - основная, то есть с компактным носителем, и она давала сходимость. А у вас что?

[3.14]

ewert, я что-то не совсем уловил , что Вы хотели сказать..Можете пояснить ?

[SpBTimes]

3.14
это стандартная формула - профит преобразования Фурье. Она переводит производную в произведение. И у вас это получится, но только если правильно колдовать.

[3.14]

Если я правильно все понял (то что имел ввиду ewert), то что-то в этом смысле должно получиться :

$$ F[x(x+1) \cos x](u) = F[x^2 \cos x + x \cos x](u) = F[x^2 \cos x](u) + F[x \cos x](u) $$

Далее, есть формула :

$$ F[x^n f(x)](u) = i^n \frac{d^n F[f(x)](u)}{du^n} $$

Ну а потом, если я знаю преобразование Фурье у косинуса, то, продифференцировав и сложив, я получу ответ.