Непрерывность

[ИСН]

Ну-с, предъявите функцию и такое число.

[devgen]

$$ f(x)=\begin{cases} 1,&\text{если $x = 2k$}\\ 0,&\text{если $x \ne 2k$;}\\ \end{cases} $$

Вот, например, $x_n=\sqrt{2}\cdot2^{2n+1}$ Какое я бы $T$ не взял, $x_n-T$ останется иррациональным, значит равенство выполняется.

[ИСН]

Ну. А нам что надо? Чтобы не.

[devgen]

ИСН

$$ f(x)=\begin{cases} 1,&\text{если $x = 2k$}\\ 0,&\text{если $x = 2k+1$;}\\ \end{cases} $$

Для других $x$ не определена. Тогда, например, для $T=1$, не существует такой последовательности.

[ИСН]

devgen в сообщении #706805 писал(а):

Для других $x$ не определена.

Хорошая функция! У меня лучше есть: в 1 равна 1, дальше вообще нигде не определена Какое хочешь бери число - не найдёшь такой последовательности!
Какой-то цыганский приём получился.
Ну а если всё-таки попросить её быть определённой везде?

[devgen]

ИСН
Вроде так

$$ f(x)=\begin{cases} 1,&\text{если $x = 2n$}\\ 2,&\text{если $x = 2n+1$}\\ (-1)^{[x]},&\text{остальные }\\ \end{cases} $$

[ИСН]

Лютый ад! Длинновато немного.
Как насчёт $f(x)=\{x\},\,T={1\over2}$?

[devgen]

Здорово.
Но я не совсем понял, чем помогает непрерывность. Проблема ведь в том, что сдвиг может "сбить" с одной подпоследовательности на какую-нибудь другую?

[ИСН]

Что значит сбить? Последовательность ведь мы сами строим, она не обязана следовать какому-то одному простому закону.
А непрерывность помогает тем, что отсекает вот такие функции в форме пилы, как видите.

[devgen]

Ясно, спасибо большое.
А не подскажите, что хотел, чтобы я увидел, Олег Зубелевич?

[ИСН]

Предположим, что все условия выполнены, а построить не получается. Строили, строили, спустились до какого-то $\varepsilon$ - и баста. Тупо не можем найти следующего $x_n$, для которого, значит, это самое.
Значит что? Значит, функция $f(x+T)-f(x)$ находится вне интервала $(-\varepsilon ,\varepsilon)$. Будучи тоже непрерывна, она, стало быть, находится целиком по одну его сторону. А тогда...

[devgen]

ААААА я не знаю.

-- Вс апр 07, 2013 00:48:37 --

Знаем, что $f(x)$ ограничена: $a<f(x)<b$, где $a,b$ точные нижняя и верхняя грань. Используя, то, что $f(x+T)-f(x)>\varepsilon$, получаем, что $f(x+T)<b-\varepsilon$, чего быть не может, потому что мы определили $b$ как точную верхнюю грань.

[ИСН]

По смыслу можно, но как-то неизящно... На этом месте обычно говорят, что раз так, то $f(x+2T)-f(x)>2\varepsilon$, дальше - больше, и понеслась душа по трубам.