Найти экстремум

[DeadChild]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как найти минимум? Чем пользоваться?
$(x_1 -3)^2+(x_1 -x_2)^2 \to \min$, $\max\{|x_1|,|x_2|\}\leq 1$.

[Алексей К.]

А в чём проблема? Минимум функции двух переменных искать не умеем? Область поиска непонятна? Что-то ещё?

[DeadChild]

Алексей К. в сообщении #705124 писал(а):

А в чём проблема? Минимум функции двух переменных искать не умеем? Область поиска непонятна? Что-то ещё?

Продиффиренцировать и прировнять к нулю?

[ИСН]

Ну. Сначала так. Потом по границам. Потом по углам.

[Shtorm]

Задачу можно также отности к Нелинейному программированию. Один из способов для решения таких задач - это графический метод. Стройте плоскость в координатах $X_1OX_2$. Изобразите квадратную область определения на плоскости $\max\{|x_1|,|x_2|\}\leq 1$

Затем изобразите кривую $(x_1 -3)^2+(x_1 -x_2)^2 = C, с произвольным С.

И далее, передвигайте так кривую, чтобы она, исходя из условия задачи.....

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #705129 писал(а):

Затем изобразите окружность произвольного радиуса $(x_1 -3)^2+(x_1 -x_2)^2 =R

А это окружность, что ли?
Впрочем, если только "произвольного радиуса": где какой хочет радиус, такой и имеет.

[Shtorm]

Алексей К., извиняюсь за опечатку. Исправил.

[TOTAL]

DeadChild в сообщении #705118 писал(а):

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как найти минимум? Чем пользоваться?
$(x_1 -3)^2+(x_1 -x_2)^2 \to \min$, $\max\{|x_1|,|x_2|\}\leq 1$.

$u=x_1 -3, \;\; v=x_1 -x_2$
В прямоугольных координатах $u, v$ найдите окружность наименьшего радиуса.
Ограничения придется переписать, но это просто.

[DeadChild]

$\begin{cases} 4x-2y-6=0 \\ -2x+2y=0 \end{cases}$
Получается точка (3,3)
А с график не понимаю как строить.


-- 03.04.2013, 13:53 --

Почитала про параллельный перенос координат.
То есть из $(x-3)^2+(x-y)^2=C$ можно получить $\frac{(x-3)^2}{1^2}+\frac{(y-x)^2}{1^2}=1$, так как $C$ - произвольное. Значит надо переносить в точку с координатой $(3,x)$?

[Алексей К.]

Вы нашли точку минимума. Правильно нашли. А попадает ли она в Ваш квадратик?
Если да --- то ура, можно музыку включать.
Если нет, то что?

Ну и квадратик неправльный. Например, точка $(x,y)=(-1,0)$ в Ваш квадратик не попадает, а в указанную в условии область вроде вполне вписывается: $\max\{|x|,|y|\}=\max\{|{-1}|,|0|\}=\max\{1,0\}=1\leqslant 1$.

-- 03 апр 2013, 14:09:19 --

Предлагаю не заморачиваться с продвинутыми методами, графики какие-то, параллельные переносы...
Главное --- осознать главное: где искать минимум, если область ограничена, а глобальный минимум в неё не попадает?

Как, например, найти минимум функции $y=x^2$ на отрезке $1\le x\le 2$ (устная задачка)?

[DeadChild]

Тогда график такой будет?

Алексей К. в сообщении #705163 писал(а):

Как, например, найти минимум функции на отрезке (устная задачка)?

Минимум равен 1?

[TOTAL]

Запишите задачу в переменных $u=x_1 -3, \;\; v=x_1 -x_2$

[Алексей К.]

Да, минимум $y=1$, достигается в точке $x=1$, на границе отрезка.

[DeadChild]

TOTAL в сообщении #705179 писал(а):

Запишите задачу в переменных $u=x_1 -3, \;\; v=x_1 -x_2$

просто как $u^2+v^2\to \min, \, \max\{|u+3|,|u+3-v|\}\leq 1$?

[TOTAL]

DeadChild в сообщении #705187 писал(а):

просто как $u^2+v^2\to \min, \, \max\{|u+3|,|u+3-v|\}\leq 1$?

Теперь рисуйте область, ограниченную (четырьмя) прямыми: $|u+3|=1, \;\; |u+3-v|=1.$
Круг (с центром в начале координат) какого минимального радиуса дотянется до этой области?