Произведение синусов

[confabulez]

Подскажите, пожалуйста, есть ли компактная формула для произведения:

$P=\sin(\pi/n)\sin(2\pi/n)...\sin((n-1)\pi/n)$, где $n \in N$.

[TOTAL]

Гипотеза: $P=n/2^{n-1}$

[Shtorm]

TOTAL в сообщении #702037 писал(а):

Гипотеза: $P=n/2^{n-1}$

Для $n=1$ уже не выполняется.

[confabulez]

тут я немного поторопился $n\geqslant3$

[Shtorm]

Тогда формула предложенная TOTAL верна для $n= 3, 4, 5$ Дальше не проверял, но скорей всего верна для всех.

[confabulez]

TOTAL в сообщении #702037 писал(а):

Гипотеза: $P=n/2^{n-1}$

А какими средствами можно доказать данную гипотезу?

[TOTAL]

confabulez в сообщении #702066 писал(а):

А какими средствами можно доказать данную гипотезу?

Её можно доказать, доказав (это тоже гипотеза), что

$$\sin(nx) = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}\sin(x+k \pi/n)$$

[confabulez]

TOTAL,

А как вы получаете эти гипотезы, если не секрет? Вторую, боюсь, тоже непросто доказать.

[TOTAL]

confabulez в сообщении #702089 писал(а):

Вторую, боюсь, тоже непросто доказать.

Давайте подождем. Здесь найдется кто-нибудь, кто докажет (или опровергнет).

[nikvic]

В известной телеграмме был текст """перенесём зет в энтой налево
Синусы меняем на косинусы (дополнение до прямого угла).
Рассмотрим все корни энтой степени из единицы. Далее берётся произведение расстояний от одной вершины многоугольника до остальных - а оно равно 1 (зет в энтой минус один разделить на зет минус один ).

[Shtorm]

TOTAL в сообщении #702075 писал(а):

Её можно доказать, доказав (это тоже гипотеза), что

$$\sin(nx) = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}\sin(x+k \pi/n)$$

Попытка:

$$\sin(nx)=\sin\left(2\frac{nx}2\right)=2\sin\left(\frac{nx}2\right)\cos\left(\frac{nx}2\right)=2\sin\left(2\frac{nx}4\right)\sin\left(\frac{\pi}2+\frac{nx}2\right)=$$

$$=2\sin\left(2\frac{nx}4\right)\sin\left(\frac{n}2\left(\frac{\pi}n+x\right)\right)=2^2\sin\left(\frac{nx}4\right)\cos\left(\frac{nx}4\right)\sin\left(\frac{n}2\left(\frac{\pi}n+x\right)\right)=....$$

Пойдёт как начало? Или это докажет только для чётных $n$?

[ИСН]

nikvic уже привёл и начало, и конец. А Вы что хотите сделать и зачем?

[Shtorm]

ИСН, он использовал в доказательстве расстояние между вершинами многоугольника. А я как бы без этого. То есть иной тип доказательства.

[Shtorm]

TOTAL в сообщении #702075 писал(а):

$$\sin(nx) = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}\sin(x+k \pi/n)$$

А эта формула ещё где-то есть в литературе, или надо громко похлопать в ладоши и вручить премию TOTAL??

[nnosipov]

Shtorm в сообщении #703323 писал(а):

А эта формула ещё где-то есть в литературе

Это фольклор.