Симпатичное тождество для ВТФ n=3

[ananova]

Кое что прояснилось для меня.

Левая часть тождества $9x^2y^2z^2$ делится на $(x+y-z)^2$ . После чего 9 "пропадает".

[ananova]

Результатом деления будет следующее целое число:

$$ \sqrt[3] {(x^2-xy+y^2)^2} \cdot \sqrt[3] {(z^2+zy+y^2)^2} \cdot \sqrt[3] {(z^2+zx+x^2)^2} $$

[ananova]

ananova в сообщении #683362 писал(а):

Кое что прояснилось для меня.

Левая часть тождества $9x^2y^2z^2$ делится на $(x+y-z)^2$ . После чего 9 "пропадает".

Нашел "помарочку"!
Правильно будет так:
Левая часть тождества $9x^2y^2z^2$ делится на $\sqrt[3] {(x+y-z)^2}$, при Случае 2 ВТФ . После чего 9 "пропадает".

[Батороев]

ananova
Здесь рассуждения будут легче, если запомнить, что если $(k-m)\equiv 0\pmod 3$ при $k,m$ не кратных $3$, то неполный квадрат суммы $(k^2+km+m^2)$ делится на $3$, но не делится на $9$ (то же касается и суммы кубов).

[ananova]

(Оффтоп)

Да, с тождествами снова "каюк".
Я пока продвигаюсь в узком направлении - создании из простых чисел уравнений со свойствами ВТФ. Это, в общем, не сложно. Надеюсь, что таким способом можно будет доказать невозможность создания основного уравнения ВТФ.

[vasili]

Уважаемый Батороев! Множители правой части равенства не взаимно простые. Так первый множитель делится на "большие" делители чисел Z и Y, второй множитель на "большие" делители чисел Z и X и третий множитель на "большие" делители чисел X иY.
"Большие" делители чисел X,Y и Z образуют формулы Абеля. Пример для ВТФ 3 для "большого" делителя числа $Y = Ud_2$, где
$U^3 = Z^2 + ZX + X^2.$

[Батороев]

vasili в сообщении #683826 писал(а):

Множители правой части равенства не взаимно простые. Так первый множитель делится на "большие" делители чисел Z и Y, второй множитель на "большие" делители чисел Z и X и третий множитель на "большие" делители чисел X иY.

Согласен:

$$\dfrac{x^2+x(z-y)+(z-y)^2}{y}=\dfrac{x^2+xz-xy+z^2-2zy+y^2}{y}=\dfrac{x^2+xz+z^2}{y}-x-2z+y$$

$$\dfrac{(x+y)^2+(x+y)z+z^2}{y}=\dfrac{x^2+2xy+y^2+xz+yz+z^2}{y}=\dfrac{x^2+xz+z^2}{y}+2x+y+z$$

Спасибо!

[vasili]

Уважаемый Батороев! Если к примеру $(Z,3) = 3$, то
$X^2 + X(Z -Y) + (Z-Y)^2 = 3U_1U_3d_1^2$ и
$Y^2 + Y(Z-X) + (Z- X) = 3U_2U_3d_2^2$, где
$U_1^3= Z^2 + ZX + X^2$,
$U_2^3 = Z^2 + ZY + Y^2$,
$U_3^3 = X^2 -XY +Y^2$,
$Y =U_1d_2,$
$X = U_2d_1, $
$ Z = U_3d_3.$
В этом случае третий множитель $Z^2 +Z(X+Y) + (X+Y)^2 = U_!U_2d_3^2$

[Батороев]

vasili в сообщении #684267 писал(а):

Если к примеру $(Z,3) = 3$, то
$X^2 + X(Z -Y) + (Z-Y)^2 = 3U_1U_3d_1^2$
$Y^2 + Y(Z-X) + (Z- X) = 3U_2U_3d_2^2$, где
$U_1^3= Z^2 + ZX + X^2$,
$U_2^3 = Z^2 + ZY + Y^2$,
$U_3^3 = X^2 -XY +Y^2$,
$Y =U_1d_2,$
$X = U_2d_1, $
$ Z = U_3d_3.$
В этом случае третий множитель $Z^2 +Z(X+Y) + (X+Y)^2 = U_!U_2d_3^2$

То, что Вы записали - верно, но с одной неточностью. Эта неточность заключается в том, что в действительности верно:

$X^2 + X(Z -Y) + (Z-Y)^2 =\sqrt[3]{9}\cdot U_1U_3d_1^2$
$Y^2 + Y(Z-X) + (Z- X) =\sqrt[3]{9}\cdot U_2U_3d_2^2$
$Z^2 +Z(X+Y) + (X+Y)^2 = \sqrt[3]{9}\cdot U_1U_2d_3^2$

Можете проверить справедливость моего утверждения, подставляя в выражения значения нецелых чисел (для которых ВТФ выполняется).

[ananova]

vasili в сообщении #683826 писал(а):

Уважаемый Батороев! Множители правой части равенства не взаимно простые. Так первый множитель делится на "большие" делители чисел Z и Y, второй множитель на "большие" делители чисел Z и X и третий множитель на "большие" делители чисел X иY.
"Большие" делители чисел X,Y и Z образуют формулы Абеля. Пример для ВТФ 3 для "большого" делителя числа $Y = Ud_2$, где
$U^3 = Z^2 + ZX + X^2.$

Это правильно для Случая 1 ВТФ.
Для Случая 2 ВТФ необходимо рассмотреть следующее уравнение, если НОД $(Z^2 + ZX + X^2, 3)=3$:

$$3 \cdot u^3= Z^2 + ZX + X^2$$

[vasili]

Уважаемый Батороев! Если $(Z,3)=3$ и делители чисел Z, X и Y соответственно $UV,$ $U_1V_!$ и $U_2V_2$ такие,что выполняются формулы Абеля для 2 случая, для P =3, т.е $3V^3= X^2 -XY + Y^2,$ $V_1^3=Z^2 + ZY+ Y^2,$ $V_2^3= Z^2 + ZX + X^2$,
тогда множители правой части равны
$X^2 + X(Z-Y) + (Z -Y)^2 = 3VV_2U_1^2$
$Y^2 + Y(Z -X) + (Z-X)^2=3VV_1U_2^2$
$Z^2 + Z(X + Y) + (X + Y)^2 = V_1V_2U^2$

[Батороев]

Теперь согласен.

Только не следовало вводить новые обозначения, а достаточно было подправить предыдущий пост.
А то мы скоро будем больше тратить времени на "переводы", чем на само обсуждение.

[ananova]

vasili в сообщении #686252 писал(а):

Уважаемый Батороев! Если $(Z,3)=3$ и делители чисел Z, X и Y соответственно $UV,$ $U_1V_!$ и $U_2V_2$ такие,что выполняются формулы Абеля для 2 случая, для P =3, т.е $3V^3= X^2 -XY + Y^2,$ $V_1^3=Z^2 + ZY+ Y^2,$ $V_2^3= Z^2 + ZX + X^2$,
тогда множители правой части равны
$X^2 + X(Z-Y) + (Z -Y)^2 = 3VV_2U_1^2$
$Y^2 + Y(Z -X) + (Z-X)^2=3VV_1U_2^2$
$Z^2 + Z(X + Y) + (X + Y)^2 = V_1V_2U^2$

Если Z делится на 3, то и X+Y делится на 3. В связи с этим, - куда пропали тройки в этом уравнении?

$$Z^2 + Z(X + Y) + (X + Y)^2 = V_1V_2U^2$$

[Батороев]

ananova в сообщении #687578 писал(а):

Если Z делится на 3, то и X+Y делится на 3. В связи с этим, - куда пропали тройки в этом уравнении?

$$Z^2 + Z(X + Y) + (X + Y)^2 = V_1V_2U^2$$

Запишу в своих обозначениях.

$z=z_1z_2\equiv 0\pmod 3$
$x=x_1x_2 $
$y=y_1y_2$

$z_1=\sqrt [3] {3(x+y)}$
$z_2=\sqrt [3] {\dfrac{x^2-xy+y^2}{3}}$

$x_1=\sqrt [3] {z-y}$
$x_2=\sqrt [3] {y^2+yz+z^2}$

$y_1=\sqrt [3] {z-x}$
$y_2=\sqrt [3] {x^2+xz+z^2}$

$$z^2+z(x+y)+(x+y)^2=\sqrt [3]{9}\cdot \sqrt [3]{(x^2+xz+z^2)}\cdot\sqrt [3]{(y^2+yz+z^2)}\cdot\sqrt [3]{(x+y)^2}=\sqrt [3] {9} \cdot x_2y_2\left(\frac {z_1}{\sqrt [3] {3}}\right)^2=x_2y_2z_1^2$$

-- 25 фев 2013 14:07 --

Для полноты картины:

$$x^2+x(z-y)+(z-y)^2=\sqrt [3]{9}\cdot \sqrt [3]{(x^2-xy+y^2)}\cdot \sqrt [3]{(x^2+xz+z^2)}\cdot\sqrt [3]{(z-y)^2}=\sqrt [3] {9} \cdot \left(\sqrt [3]{3}\cdot z_2\right)y_2 x_1^2=3 z_2y_2x_1^2$$

$$y^2+y(z-x)+(z-x)^2=\sqrt [3]{9}\cdot \sqrt [3]{(x^2-xy+y^2)}\cdot \sqrt [3]{(y^2+yz+z^2)}\cdot\sqrt [3]{(z-x)^2}=\sqrt [3] {9} \cdot \left(\sqrt [3]{3}\cdot z_2\right)x_2 y_1^2=3 z_2x_2y_1^2$$

[vasili]

Пусть для определенности $(Z,3)=3$.К сожалению в Вашем тождестве нет противоречия. Так все три множителя правой части кратны 3. Первый и второй множители кратны "большому делителю" числа Z. Первый и третий множители кратны "большему делителю" числа Y. А второй и третий множители кратны "большому делителю" числа X.
1-ый множитель = $3Z_1Y_1d_3^2$, где $Z_1, Y_1$ "большие делители" чисел Z и Y соответственно, а $d_3^2$ - малый делитель числа X, $Z-Y=d_3^3 $
Аналогично
2-ой множитель =$3Z_1X_1d_1^2$, $Z -X =d_1^3$,
3-ий множитель =$X_1Y_1d_2^2$, $3(X +Y) =d_2^3$-для 2-го случая ВТФ.