Проективная плоскость

[stasicoz]

Почему проективная плоскость это замкнутая поверхность ?

[Oleg Zubelevich]

рассмотите представление проективной плоскости в виде пучка прямых

[stasicoz]

Oleg Zubelevich в сообщении #700057 писал(а):

рассмотите представление проективной плоскости в виде пучка прямых

Но прямые же не ограничены, как например в торе или на сфере.

[Oleg Zubelevich]

возьмите полусферу с центром в центре пучка, так что бы почти все прямые протыкали ее в одной точке, прямые , которые лежат в экваториальной плоскости будут протыкать край полусферы в двух токах, эти точки надо отождествить, получим диск, край которого склеен с краем лиса Мебиуса топологически это и есть проективная плоскость-- компактное неориентируемое многообразие без края.

[stasicoz]

Oleg Zubelevich в сообщении #700061 писал(а):

возьмите полусферу с центром в центре пучка, так что бы почти все прямые протыкали ее в одной точке, прямые , которые лежат в экваториальной плоскости будут протыкать край полусферы в двух токах, эти точки надо отождествить, получим диск, край которого склеен с краем лиса Мебиуса топологически это и есть проективная плоскость-- компактное неориентируемое многообразие без края.

То есть получаем диск края которого на бесконечности переходят в противоположные точки этого же диска. Так ? То есть возвращаясь к вопросу "Почему проективная плоскость это замкнутая поверхность?" можно ответить "по определению", так как проективные прямые с обеих сторон на бесконечности дополнены одной и той же бесконечно удаленной точкой? Хотя может быть, я вконец запутался и нужно еще почитать.

[INGELRII]

Тот факт, что "ваша" проективная плоскость является "бесконечной", никакой роли не играет. Вам же показали, как ее биективно отобразить в "другую" проективную плоскость, которая "бесконечной" уже не является.

Вот вам еще примеры для размышления: простая плоскость. Изоморфна диску с границей, не принадлежащей ему. Это открытая поверхность. Или вот: плоскость с бесконечно удаленной точкой, прилепленной к плоскости. Изоморфна сфере. Является замкнутой поверхностью.

[stasicoz]

INGELRII в сообщении #700650 писал(а):

Тот факт, что "ваша" проективная плоскость является "бесконечной", никакой роли не играет. Вам же показали, как ее биективно отобразить в "другую" проективную плоскость, которая "бесконечной" уже не является.

Дело в том, что мы вводим сферу как модель $S^2$ в $R^3$ для частичного описания $P^2$. рассматривая прямые окружностей проходящих через центральную ось, чтобы выполнить условия проективной поверхности
1) что прямая задается двумя точками (отбрасываем антиподальные точки нижней полусферы)
2) что параллельные прямые пересекаются (уже не на бесконечности, а в точке центральной оси)

таким образом видимо данная модель описывает подмножество всех параллельных прямых на $P^2$.
Далее рассматривая данную полусферу, она гомеоморфна 2d-диску, причём антиподальные точки диска тождественны, объединяя которые получаем замкнутую поверхность, у каждой точки которой есть окрестность, то получаем открытый диск. Что видимо является условием компактности.
Так как окружность диска у нас является замкнутой Жордановой кривой, то при попытке сориентировать антиподальные точки, получаем, что поверхность разориентирована(листы Мёбиуса).

INGELRII в сообщении #700650 писал(а):

Вот вам еще примеры для размышления: простая плоскость. Изоморфна диску с границей, не принадлежащей ему. Это открытая поверхность. Или вот: плоскость с бесконечно удаленной точкой, прилепленной к плоскости. Изоморфна сфере. Является замкнутой поверхностью.

пока думаю