Распределение, зависящее от случайного параметра.

[hawse]

Здравствуйте. Вот такой пример - случайная величина $\xi$ имеет распределение $Bi(n, \theta)$, где $\theta$ - это тоже случайная величина, распределение которой $p(\theta)$ известно. Я не понимаю, как посчитать распределение $p(\xi | \theta)$. Мне кажется, оно должно равняться $Bi(n, \theta)$, посчитанному при конкретном значении $\theta$. С другой стороны, если будем применять формулу условной вероятности, то получим, что оно равно $\frac{p(\xi, \theta)}{p(\theta)}$. Очень хорошо, а что тогда такое $p(\xi, \theta)$? Где я ошибаюсь? Такое чувство, что не понимаю что-то очень простое и фундаментальное.

[--mS--]

hawse в сообщении #698980 писал(а):

Я не понимаю, как посчитать распределение $p(\xi | \theta)$. Мне кажется, оно должно равняться $Bi(n, \theta)$, посчитанному при конкретном значении $\theta$.

Разумеется, именно этому оно и равняется.

hawse в сообщении #698980 писал(а):

С другой стороны, если будем применять формулу условной вероятности, то получим, что оно равно $\frac{p(\xi, \theta)}{p(\theta)}$. Очень хорошо, а что тогда такое $p(\xi, \theta)$? Где я ошибаюсь?

Нигде не ошибаетесь, разве только видеть функции без аргументов странно, вот и приходится Вам произносить слова типа "при конкретном значении $\theta$"
Функция $p(\xi,\theta)$ - это совместная плотность пары величин. Равная произведению безусловной плотности $\theta$ на условную плотность $\xi$ при фиксированном значении $\theta$:

$$ p_{\xi,\theta}(k,\, x) = p_\theta(x) p_{\xi|\theta}(k|x) = p_\theta(x) p_{Bi(n,x)}(k) = p_\theta(x) C_n^k x^k (1-x)^{n-k}.$$

[hawse]

Спасибо, вы мне очень помогли.