Существование рациональной точки на любом интервале на прямо

[Monster]

Как доказать , что на любом интервале на прямой будет хотя бы одна рациональная точка?

Toucan:

Устное замечание за капслокинг. Убрал.

[ИСН]

Обычно даже не одна, но это потом. Тупо: у Вашего интервала есть длина? Какая? (обозначьте как-нибудь.)

[Monster]

Можно обозначить длину за n

[ИСН]

n - это много, давайте лучше $\varepsilon$

[TOTAL]

ИСН в сообщении #698874 писал(а):

n - это много, давайте лучше $\varepsilon$

$\varepsilon > 0$

[Monster]

Хорошо

-- 20.03.2013, 18:30 --

Что делать следующим этапом?

[ИСН]

Дальше возьмём ближайшее целое число сверху от $2\over\varepsilon$. Можем так сделать? Вот это и будет n.

[Monster]

Хорошо.
Что делаем дальше?

[TOTAL]

Monster в сообщении #698939 писал(а):

Хорошо.
Что делаем дальше?

На числовой оси, начиная с нуля, делаем насечки с шагом $1/n.$
Одна из насечек попадет в интервал.

[Monster]

Но почему каждая из насечек является рациональным числом?

[Deggial]

Monster в сообщении #698948 писал(а):

Но почему каждая из насечек является рациональным числом?

Какое число обозначает $k$-я насечка?

[Monster]

k/n

-- 20.03.2013, 19:07 --

Это и есть рациональное число.Я понял.Большое спасибо.

[Ward]

А как доказать, что на любом интервале есть иррациональное число?

[ИСН]

Это смотря про какие числа Вы уже знаете, что они точно иррациональны.

[Ward]

Ну например я знаю, что $\sqrt{2}, \log_23$ являются иррациональными.
Этого достаточно?