2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство простейшего случая для n=3
Сообщение16.03.2013, 10:40 


16/08/09
304
Итак: надо доказать, что выражение
$X^3 + Y^3 = Z^3 $

не выполняется при любых
$X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $ взаимно простые числа и $Z = Y + 1 $

Пусть
$Z - X = m_1\qquad (1)$

$Z - Y = k_1\qquad (2)$

$X + Y = t_1\qquad (3)$

$Z^3 = t_1 t_2\qquad (4)$

$Y^3 = m_1 m_2 \qquad(5)$

$X^3 = k_1 k_2\qquad (6)$

Соответственно, если X,Y,Z-взаимно простые числа, то и их сомножители тоже взаимно простые числа.
После преобразований выражений(1-3) получаем:

$3k_1 m_1 t_1 = (t_1 - Z)^3\qquad (7)$

$3k_1 m_1 t_1 = (Y - m_1 )^3\qquad (8)$

$3k_1 m_1 t_1 = (X - k_1 )^3 \qquad(9)$

Получили утроенное произведение трёх взаимно простых сомножителей равное кубу.
Отсюда следует, что два из трех сомножителей всегда кубы, а третий имеет вид
$3^2 d^3 $
Рассмотрим все 3 возможных варианта:
1 вариант: Предположим, что кратен 3 сомножитель $m_1 $, тогда имеем:

$Z - X = m_1= 9b_1^3\qquad (10)$

$Z - Y =k_1=a_1^3\qquad (11)$

$X + Y = t_1=c_1^3\qquad (12)$

$Z^3 = c_1^3 c_2^3\qquad (13)$

$Y^3 = 27b_1^3 b_2^3\qquad (14)$

$X^3 = a_1^3 a_2^3\qquad (15)$



$27a_1^3 b_1^3 c_1^3 = (c_1^3 - Z)^3\qquad (16)$

$27a_1^3  b_1^3 c_1^3 = (Y - 3^2 b_1^3 )^3\qquad (17)$

$27a_1^3  b_1^3 c_1^3 = (X - a_1^3 )^3\qquad (18)$

Далее из $(18)$ получим:

$3a_1  b_1c_1 = X - a_1^3 \qquad (19)$

Учитывая, что $Z-Y=1$

$3b_1c_1 = X - 1 \qquad (20)$

Но при $Z-Y=1$ можно так же преобразовать основное уравнение таким образом

$(Y+1)^3-Y^3 =X^3\qquad (21)$

И далее

$3Y(Y+1)+1 =X^3\qquad (22)$

С учетом $(10-15)$

$9b_1b_2c_1c_2 =X^3-1\qquad (23)$

Разделим $(23)$ на $(20)$ и получим

$3b_2c_2 =X^2-X+1\qquad (24)$

Получилось, что $X^2-X+1$ и $X - 1$ кратны $3$, но это неверно!

Так как $(X^2-X+1)\bot (X - 1)$

Получили противоречие!

Аналогично для 2-ух других случаев!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство простейшего случая для n=3
Сообщение16.03.2013, 11:01 


23/01/07
3415
Новосибирск
Belfegor
У Вас неверно записано выражение (24). В правой части должно быть $X^2+X+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство простейшего случая для n=3
Сообщение16.03.2013, 11:38 


16/08/09
304
[quote="Belfegor в сообщении #696470"]
$3b_2c_2 =X^2-X+1\qquad (24)$

Спасибо, уважаемый Батороев!

Разделим $(23)$ на $(20)$ и получим

$3b_2c_2 =X^2+X+1\qquad (24)$

Получилось, что $X^2+X+1$ и $X - 1$ кратны $3$, но это неверно!

Так как $(X^2+X+1)\bot (X - 1)$

Получили противоречие!

Аналогично для 2-ух других случаев!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство простейшего случая для n=3
Сообщение16.03.2013, 11:44 


23/01/07
3415
Новосибирск
Нет, как раз-то и $(X^2+X+1)\equiv 0\pmod 3$, и $(X-1)\equiv 0\pmod 3$, т.к. $X\equiv 1\pmod 3$ (второй случай ВТФ).

-- 16 мар 2013 16:16 --

Не далее, чем вчера, в соседней теме я писал:
Батороев в сообщении #696177 писал(а):
Попытки вводить новые переменные, выискивать все новые и новые формы уравнения ВТФ - это и есть фантомный путь доказательства. В результате подобных действий всегда будут появляться новые и новые тождества, которые справедливы, но в нецелых числах. Поэтому найти в них противоречий невозможно (в противном случае ищите ошибку в своих выкладках). Доказать же ВТФ - это доказать, что эти тождества не могут выполняться в натуральных числах (или в целых (без тривиального случая) - как кому угодно).

Можно еще более изощриться - например, привести к виду:

$X^2+X+1=3 \cdot\left[\left(\dfrac{X-1}{3}+1\right)^3-\left(\dfrac{X-1}{3}\right)^3\right]$

$b_2c_2=\left(\dfrac{X-1}{3}+1\right)^3-\left(\dfrac{X-1}{3}\right)^3$ (опять разность соседних кубов!)

но и тут проку будет немного (напомню, $a_2;b_2;c_2\equiv 1\pmod 3$ ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство простейшего случая для n=3
Сообщение16.03.2013, 12:16 


16/08/09
304
Уважаемый Батороев!

$Z^3 = c_1^3 c_2^3\qquad (13)$

$Y^3 = 27b_1^3 b_2^3\qquad (14)$

$X^3 = a_1^3 a_2^3\qquad (15)$

$3b_1c_1 = X - 1 \qquad (20)$

$3b_2c_2 =X^2+X+1\qquad (24)$

Получилось, что одновременно $X^2+X+1$ и $X - 1$ кратны $3$, но это неверно!

Так как $(X^2+X+1)\bot (X - 1)$

Что неправильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство простейшего случая для n=3
Сообщение16.03.2013, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424
$4^2+4+1=21; 4-1=3$
Более того, они кратны трём только вместе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство простейшего случая для n=3
Сообщение16.03.2013, 12:27 


23/01/07
3415
Новосибирск
Belfegor

У Вас $Y$ кратен $3$, следовательно, $Z=(Y+1)\equiv 1\pmod 3$. Откуда и $X\equiv 1\pmod 3$.

Считаем остатки:

$(X^2+X+1)\equiv (1+1+1)\pmod 3\equiv 0\pmod 3$

$(X-1)\equiv (1-1)\pmod 3\equiv 0\pmod 3$

Т.е. эти выражения имеют общий множитель $3$ (кстати, единственный).

-- 16 мар 2013 16:36 --

"До кучи" еще одно симпатичное тождество:

$(3Y+1)^2+(3Y+1)+1=3X^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство простейшего случая для n=3
Сообщение16.03.2013, 14:15 


16/08/09
304
Спасибо, Уважаемый Батороев! Да, симпатичных тождеств множеств множество :D, а абсолютно не помогают :-(

-- Сб мар 16, 2013 15:17:55 --

Уважаемый gris! $X$ -нечетное число.
Тогда так
$7^2+7+1=57; 7-1=6$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство простейшего случая для n=3
Сообщение19.03.2013, 15:33 


27/03/12
449
г. новосибирск
Если $X-1\equiv0\mod3$, то $X^2 + X + 1 = (X-1)^2 + 3X\equiv0\mod3$ и в общем случае если
$X-1\equiv0\mod P$, то $X^P - 1 = (X - 1)[(X -1)^P^-^1 + PM]\equiv0\mod P^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group