Найти допустимые экстремали

[Dospad]

Доброго времени суток.
Помогите разобраться.
Есть задача:
$\int_1^3 (\dot x + {\dot x}^2\sin^2t+e^{2t}) dt, x(1)=-1, x(3)=4$

Составляю уравнение Эйлера.
Для этого сначала нахожу частные производные:
$F_x=0$

$F_{\dot x}=1+2\dot x \sin^2t$

$F_{\dot x \dot x}=2\sin^2t$

$F_{\dot x x}=0$

$F_{\dot x t}=4\dot x\sin t\cos t$

Подставляя в уравнение Эйлера, получаем:
$-4\dot x \sin t\cos t-\ddot x 2\sin^2 t=0$

$\ddot x+2\dot x \ctg t=0$

Решив диффур, получаем:
$x=C_2-C_1\ctg t$

Вопрос: правильно ли я все сделал? Дело в том, что подставлять в котангенс такие условие как-то странно. Диффур проверял матлабом, поэтому возможно что-то не так с уравнением Эйлера. Спасибо.

[SpBTimes]

Уравнения Эйлера: $F'_x - \frac{d}{dt}F'_{x'} = 0$

[Dospad]

SpBTimes в сообщении #697894 писал(а):

Уравнения Эйлера: $F'_x - \frac{d}{dt}F'_{x'} = 0$

Им и пользовался.
Взял производную, получил:
$F_x-F_{\dot x t}-\dot x F_{\dot x x}-\ddot x F_{\ddot x \ddot x}=0 $

[SpBTimes]

Тогда все нормально

[Dospad]

SpBTimes в сообщении #697921 писал(а):

Тогда все нормально

Просто очень странный ответ получается (т к в тангенсы подставляем не табличные значения).
Я решаю еще аналогичный пример и там похожая ситуация. Вот и хотелось бы узнать, может я что не так делаю.

[ИСН]

Dospad в сообщении #697900 писал(а):

Взял производную, получил:
$F_x-F_{\dot x t}-\dot x F_{\dot x x}-\ddot x F_{\ddot x \ddot x}=0 $

Что это было? Откуда взялись какие-то производные по $\ddot x$, которых сроду не было?
Проще надо быть, и люди к Вам потянутся. Уравнение Эйлера, допустим, Вы знаете. Разворачивать и упрощать ничего не надо - получится гораздо сложнее. Иксов в чистом виде нет, т.е. $F'_x= 0$. Остаётся $\frac{d}{dt}F'_{x'} = 0$, т.е. $F'_{x'} = C$...
Ну да, действительно вылезает котангенс. Значит, судьба.