2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неформальные и формальные аксиоматические теории
Сообщение14.03.2013, 20:21 


11/06/12
20
Доброго времени суток. Помогите разобраться, в чем разница между неформальными и формальными аксиоматическими теориями. По определению:

"Множество замкнутых формул, которые логически следуют из
данного множества аксиом, называется неформальной аксиоматической
теорией.
Множество замкнутых формул, которые выводимы в исчислении
предикатов из данного множества аксиом, называется формальной
аксиоматической теорией."


Под логическим следованием из аксиом я понимаю тавтологическое следование, но в таком случае логическое следование из аксиом и вывод в исчислениях предикатов это одно и то же (по правилу вывода Taut). В чем я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.03.2013, 20:32 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Неформальные и формальные аксиоматические теории
Сообщение14.03.2013, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Логическое следование - это когда формула истинна в любой модели нашего множества аксиом.
Какое правило вывода Вы называете Taut?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неформальные и формальные аксиоматические теории
Сообщение14.03.2013, 22:21 


11/06/12
20
Xaositect в сообщении #695739 писал(а):
Какое правило вывода Вы называете Taut?

Правило тавтологического следствия

Xaositect в сообщении #695739 писал(а):
Логическое следование - это когда формула истинна в любой модели нашего множества аксиом.

Это вроде и есть тавтологическое следование. (Для формулы А из того, что все аксиомы верны, следует, что А верна)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неформальные и формальные аксиоматические теории
Сообщение14.03.2013, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Терминология в разных учебниках логики, к сожалению, отличается до неузнаваемости. Термин "Правило тавтологического следствия" мне говорит мало. Дайте формальную формулировку.

Для исчисления предикатов эквивалентность логического и дедуктивного следования называется теоремой Геделя о полноте и доказывается нетривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неформальные и формальные аксиоматические теории
Сообщение14.03.2013, 22:55 


11/06/12
20
Xaositect в сообщении #695775 писал(а):
Терминология в разных учебниках логики, к сожалению, отличается до неузнаваемости. Термин "Правило тавтологического следствия" мне говорит мало. Дайте формальную формулировку.

Формулу $B$ возможно вывести из множества формул $A_{1}, ... ,A_{n}$, если формула $A_{1}\& A_{2}\& ...\& A_{n} \mapsto B$ - тавтология.
Взято из учебника: Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. "Вводный курс математической логики"

Xaositect в сообщении #695775 писал(а):
Для исчисления предикатов эквивалентность логического и дедуктивного следования называется теоремой Геделя о полноте и доказывается нетривиально.

До теоремы о полноте я еще не дочитал) Но если логическое и дедуктивное следования эквивалентны, значит формальная и неформальная аксиоматическая теория тоже эквивалентны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неформальные и формальные аксиоматические теории
Сообщение14.03.2013, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Mr Alexey в сообщении #695782 писал(а):
Взято из учебника: Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. "Вводный курс математической логики"
В начале §3 гл.3 (Тавтологическое следствие) приводится определение тавтологии, согласно которому тавтологией называется формула, получающаяся подстановкой из пропозициональной тавтологии. То есть, например, формула $\forall x \neg P(x) \supset \neg \exists x P(x)$ не является тавтологией, несмотря на то, что общезначима, и, значит, $\neg\exists x P(x)$ является логическим следствием $\forall x \neg P(x)$, но не является тавтологическим следствием.

Кстати, это определение тавтологии тоже не общепринято - чаще "общезначимая формула" и "тавтология" означают одно и то же.

-- Пт мар 15, 2013 00:36:54 --

Mr Alexey в сообщении #695782 писал(а):
До теоремы о полноте я еще не дочитал) Но если логическое и дедуктивное следования эквивалентны, значит формальная и неформальная аксиоматическая теория тоже эквивалентны?
Да

 Профиль  
                  
 
 Re: Неформальные и формальные аксиоматические теории
Сообщение15.03.2013, 17:22 


11/06/12
20
Xaositect, спасибо за помощь, вы мне очень помогли.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group