Определение дифференцируемой функции в ТФКП по Шабату

[ean]

Помогите пожалуйста разобраться с определением дифференцируемой функции в точке в смысле $\mathbb{C}$.
Определение такое: $f$ называется дифференцируемой а точке $z_0$ в смысле $\mathbb{C}$, если она дифференцируема в $z_0$ в смысле $\mathbb{R}^2$ и её дифференциал пропорционален $\operatorname{d}z$, т.е. в точке $z_0$

${\operatorname{d}f\over\operatorname{d}\bar{z}}=0$

Вторая часть определения вызывает вопросы. Что значит дифференциал пропорционален $\operatorname{d}z$? $\operatorname{d}f = k \cdot \operatorname{d}z, k \in \mathbb{R}$?
Выше $\operatorname{d}f$ опереляется как $\operatorname{d}f = {\operatorname{d}f\over\operatorname{d}z} \operatorname{d}z + {\operatorname{d}f\over\operatorname{d}\bar{z}} \operatorname{d}\bar{z}$, где
${\operatorname{d}f\over\operatorname{d}z} = {1\over2}({\operatorname{d}f\over\operatorname{d}x}- i \cdot {\operatorname{d}f\over\operatorname{d}y})$
${\operatorname{d}f\over\operatorname{d}\bar{z}} = {1\over2}({\operatorname{d}f\over\operatorname{d}x}+ i \cdot {\operatorname{d}f\over\operatorname{d}y})$.
Подставив $\operatorname{d}f = k \cdot \operatorname{d}z, k \in \mathbb{R}$ можно получить $({\operatorname{d}f\over\operatorname{d}z} - k)\operatorname{d}z + {\operatorname{d}f\over\operatorname{d}\bar{z}} \operatorname{d}\bar{z} =0 \Rightarrow {\operatorname{d}f\over\operatorname{d}\bar{z}}=0$, но какой у этого смысл я не понимаю. А Шабат называет это определение основным для всего его учебника.
Я смотрел определение в Методах ТФКП Лаврентьева и Шабата, но там определение дифференцируемости (без разделения "в смысле $\mathbb{C}$" и "в смысле $\mathbb{R}$") даётся аналогично действительному анализу и сопоставить одно с другим у меня не получается.

[ewert]

Дифференцируемость функции $f(z)\equiv f(x+iy)\equiv f(x,y)$ (всё это -- лишь разные способы обозначения одного и того же) в обычном смысле дифференцируемости функции от двух вещественных переменных формально означает, что

$f(z+\Delta z)-f(z)=A\Delta x+B\Delta y+o(|\Delta z|).$

Переменные $x,y$ с одной стороны и $z=x+iy,\;\bar z=x-iy$ с другой связаны между собой взаимно однозначно, причём совершенно очевидным образом. Поэтому предыдущее определение эквивалентно тому, что

$f(z+\Delta z)-f(z)=C\Delta z+D\Delta\bar z+o(|\Delta z|),$

где константы (вообще говоря, комплексные) $A,B$ взаимно однозначно связаны с константами $C,D$ не менее очевидным образом.

Дифференцируемость именно по $z$ (или, говоря на жаргоне, независимость от $\bar z$) означает просто-напросто, что в последнем варианте определения константа $D$ должна быть равна нулю. Отсюда автоматически и связь между $A$ и $B$ и прочие условия Коши-Римана.

[мат-ламер]

ean в сообщении #694622 писал(а):

Выше $\operatorname{d}f$ опереляется как $\operatorname{d}f = {\operatorname{d}f\over\operatorname{d}z} \operatorname{d}z + {\operatorname{d}f\over\operatorname{d}\bar{z}} \operatorname{d}\bar{z}$

Ещё выше этот дифференциал определяется самым обычным способом, а то что Вы написали, это не определение дифференциала, а результат некоторых элементарных манипуляций.

[ean]

мат-ламер в сообщении #694646 писал(а):

ean в сообщении #694622 писал(а):

Выше $\operatorname{d}f$ опереляется как $\operatorname{d}f = {\operatorname{d}f\over\operatorname{d}z} \operatorname{d}z + {\operatorname{d}f\over\operatorname{d}\bar{z}} \operatorname{d}\bar{z}$

Ещё выше этот дифференциал определяется самым обычным способом, а то что Вы написали, это не определение дифференциала, а результат некоторых элементарных манипуляций.

ну да, но я не понимаю смысла этого приведеняи, зачем к таком виду, что это "физически" значит

-- Чт мар 14, 2013 16:02:28 --

ewert, я понимаю это определение и дальше про условие Коши-Римана. Мне непонятно, почему во "Введении в комплексный анализ" определение строится вышеописанным образом. Не может же быть только для того, чтобы "бесплатно" из определения получить условие.

-- Чт мар 14, 2013 16:42:57 --

почитал дальше про производную понял зачем понадобилось такое определение

[мат-ламер]

ean в сообщении #695551 писал(а):

что это "физически" значит

А физически это формула может ничего и не значить.

[ean]

мат-ламер в сообщении #695673 писал(а):

ean в сообщении #695551 писал(а):

что это "физически" значит

А физически это формула может ничего и не значить.

"физически" я поместил в кавычки. я имел в виду, что мне непонятно почему используется такое представление и вводятся такие обозначения