Полнота пространства

[cool.phenon]

Здравствуйте,уважаемые участники форума. Проверьте,пожалуйста, размышления.
Дано метрическое пространство $\left(\left[0;+\infty\right),\rho \right)$ c метрикой $\rho\left(x,y\right)=\left|e^{x}-e^{y}\right|$. Доказать его полноту.
$\qedsymbol$Поскольку функция $f\left(x\right)=e^{x}$ непрерывна и $\left[0;+\infty \right)$ - замкнутое множество, то образ при отображении $f\left(x\right)=e^{x}$ $\left[0;+\infty \right)$ - замкнут. Тогда, поскольку образом является $\left[1;+\infty\right)$, то метрическое пространство полно, поскольку является замкнутым подмножеством полного пространства $\mathbb{R}$ $\qed$

[Oleg Zubelevich]

лень мне вникать, но в таких задачах надо понимать, что две метрики могут задавать одну топологию, но тем не менее, в смысле одной метрики пространство может быть полным, а в смысле другой нет

[SpBTimes]

А что, т. Лагранжа отменили?
Но и у вас верно

[cool.phenon]

Oleg Zubelevich
Такая задача является следующим пунктом, но с ним я разобрался.

SpBTimes
Ага, я,кажется, понял,что вы имеете в виду. Записать $\left|e^{x_{n+p}}-e^{x_{n}}\right|=e^{\xi}\left|x_{n+p}-x_{n}\right|$. А далее заметить, что если $e^{x_{n}}$ - фундаментальна, то фундаментальна и $x_{n}$, из её фундаментальности следует сходимость $x_{n}$, а из этой сходимости и непрерывности следует сходимость $e^{x_{n}}$,верно?

[SpBTimes]

Гм. Наоборот существеннее же.
В данном случае из фундаментальности $x_n$ следует фундаментальность $e^{x_n}$. Из фундаментальности $x_n$ следует сходимость $x_n$, а далее

cool.phenon в сообщении #693820 писал(а):

из этой сходимости и непрерывности следует сходимость $e^{x_{n}}$

[g______d]

Можно еще сказать, что $[0;+\infty)$ с метрикой $\rho$ изометрично $[1;+\infty)$ со стандартной метрикой. Понятно с помощью какого отображения.