Первообразная и интеграл

[Alex9]

Есть ли какой-нибудь смысл, помимо аналитических выражений, связывающий первообразную и неопределенный интеграл ?

[arseniiv]

Неопределённый интеграл — множество первообразных, чего тут не хватает?

[Alex9]

Как эти первообразные влияют на интеграл или наоборот, помимо их аналитических выражений ?

[Sonic86]

Alex9 в сообщении #693721 писал(а):

Как эти первообразные влияют на интеграл или наоборот, помимо их аналитических выражений ?

Вопрос бессмысленный. Могу формально ответить: никак не влияют.

[gris]

Они все его составляют, а он из них состоит.

[arseniiv]

Alex9 в сообщении #693721 писал(а):

Как эти первообразные влияют на интеграл или наоборот, помимо их аналитических выражений ?

А как влияют друг на друга число 8 и уравнение $2x = 3$?

Лучше скажите, что вы хотели узнать конкретно. Вряд ли этот вопрос был целью.

[Alex9]

Меня интересует насколько больше информации в интеграле, чем в его первообразной.

[gris]

Поскольку любые две первообразных отличаются на константу, то по любой первообразной мы можем восстановить интеграл и наоборот. Поэтому информации столько же.

[arseniiv]

Получалось бы, на ноль, если сначала определить, что значит «количество информации в математическом понятии».

[Sonic86]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #693764 писал(а):

что значит «количество информации в математическом понятии».

Пытался думать на эту тему. По-моему, бессмысленно. Например, сколько информации в аксиоматике Пеано? Если учесть, что из нее можно получить бесконечно много теорем, то информации в ней бесконечно много?
И то - это аксиомы. С понятиями еще хуже, видимо.

[arseniiv]

(2 Sonic86.)

Sonic86 в сообщении #693767 писал(а):

Пытался думать на эту тему. По-моему, бессмысленно. Например, сколько информации в аксиоматике Пеано? Если учесть, что из нее можно получить бесконечно много теорем, то информации в ней бесконечно много?

Можно попытаться найти наименьшую по какому-то признаку (если есть естественный) эквивалентную (чтобы множество теорем было тем же). Но я тоже смысла не вижу. Вообще, информация отдельно от распределения вероятностей разве бывает?

P. S. С понятием можно похоже — т. к. определение понятия — формула, надо найти наименьшую по какому-то признаку эквивалентную ей во всех моделях формулу. Но всё-таки no way. По-моему, нет естественного признака. Никакие функции от длины формул не обоснованы.

P. P. S. С другой стороны, есть кажущаяся осмысленной связь между длиной кратчайшей из своего класса эквивалентности формулы исчисления высказываний и связками, которые в ней допустимы. Но даже если она и есть, вряд ли она распространяема дальше.

[Xaositect]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #693777 писал(а):

Вообще, информация отдельно от распределения вероятностей разве бывает?

Есть алгоритмическая теория информации (теория колмогоровской сложности). Можно интерпретировать разность (мин. длина программы, выводящей строку $y$) - (мин. длина программы, выводящей строку $y$ при входе $x$) как меру информации об $y$, заложенной в $x$.

[Alex9]

Спасибо. Надо обдумать ваши мнения.

[arseniiv]