Чему равен угол?

[Ktina]

Дан треугольник $ABC$.
Точка $P$, принадлежащая стороне $AB$ такова, что выполняется

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AP}{PC}$$

Чему может быть равен угол $\angle ACB$?
Найти все возможные значения этого угла, доказав, что других нет.

[gris]

Надеюсь, что $P$ принадлежит открытому интервалу, так как вершины они тоже входят в стороны и тогда чего решать? (лишь бы сказать что-нибудь)

ТС?

[Ktina]

gris в сообщении #693656 писал(а):

Надеюсь, что $P$ принадлежит открытому интервалу, так как вершины они тоже входят в стороны и тогда чего решать? (лишь бы сказать что-нибудь)

Если бы точка $P$ совпадала с точкой $A$, сторона $AB$ была бы точкой.
Если бы точка $P$ совпадала с точкой $B$, равенство, данное в задаче, выполнялось бы всегда, вне зависимости от меры угла $\angle ACB$.
Посему уточняю условие: точка $P$ принадлежит стороне $AB$, не совпадая ни с одним из её концов.

[ewert]

Любой тупой угол.

(точка $P$ -- это точка пересечения диагоналей трапеции $ACBD$, в которой $AC\|BD$ и $|CD|=|CB|$)

[gris]

Можно и отложить внутрь $\angle C$ смежный к нему.

[jodan]

Ktina в сообщении #693649 писал(а):

Дан треугольник $ABC$.
Точка $P$, принадлежащая стороне $AB$ такова, что выполняется

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AP}{PC}$$

Чему может быть равен угол $\angle ACB$?
Найти все возможные значения этого угла, доказав, что других нет.

если $AB=2$, $BC=1$, $AP=1$, $PC=0.5$
то угол будет примерно равен 128 градусов, померил транспортиром.

[Ktina]

jodan в сообщении #693711 писал(а):

если $AB=2$, $BC=1$, $AP=1$, $PC=0.5$
...

А если нет?

[jodan]

: $\angle PBC = \arccos\left(\frac{\cos PC-\cos PB\ \cos CB}{\sin PB\ \sin CB}\right)$,
: $\angle ACB = \operatorname{arctg}\ \frac{2\sin BC}{\operatorname{tg}(\frac{\angle PBC}{2}) \sin (AB+BC) + \operatorname{ctg}(\frac{\angle PBC}{2})\sin(AB-BC) }$,


может так? проверьте если не правильно.

[Ktina]

jodan,
А зачем так усложнять?
Через теорему синусов легко доказать, что искомый угол -- тупой.
А затем, как уже упомянул ewert, воспользоваться трапецией.

[ewert]

Теорема синусов не нужна. Если нарисовать ту трапецию, то $|CD|=|CB|$ по условию, откуда и тупизна.

[Ktina]

ewert,
Да, Вы правы.

[jodan]

может этим путем попробовать?
: $\sin\angle ACB=\sin\angle ACP$,