Вторичное квантование: диагонализация гамильтониана

[rotozeev]

Возник такой вопрос, о котором я почему то не задумывался раньше. Вот возьмем к примеру задачу Боголюбова о слабо-неидеальном бозе-газе. С помощью ставших уже классическими uv-преобразований вводятся новые операторы рождения/уничтожения с правильными коммутационными свойствами. В этих новых переменных гамильтониан уже диагонален и мы видим, что в энергетическом спектре появились интересные особенности (щель). Вопрос состоит в следующем: а эта замена переменных вообще единственная? Вдруг имеется какой нибудь другой рецепт введения новых операторов, для которых тоже выполняются коммутационные соотношения и гамильтониан в этих других операторах рождения/уничтожения также будет диагональным, но уже с другим энергетическим спектром (ведь замена была другой)?

[ChaosProcess]

Насколько я помню, там есть произвол в знаках коэффициентов, который на спектр не влияет. Сохранение коммутационных соотношений достаточно жестко фиксирует переход к новым операторам.

-- Чт мар 07, 2013 16:36:27 --

Насколько я помню, там есть произвол в знаках коэффициентов, который на спектр не влияет. Сохранение коммутационных соотношений достаточно жестко фиксирует переход к новым операторам.

[Munin]

Само по себе условие диагональности гамильтониана жёстко фиксирует энергетический спектр. А как к нему прийти - дело десятое.

[rotozeev]

Munin в сообщении #692345 писал(а):

Само по себе условие диагональности гамильтониана жёстко фиксирует энергетический спектр. А как к нему прийти - дело десятое.

Я не понял словосочетание "условие диагональности". Ведь изначально как бы неизвестно, может ли данный гамильтониан быть диагонализован или нет. Или в этом я ошибаюсь?

И если гамильтониан диагонализуем, и это жестко фиксирует энергетический спектр квазичастиц, то, казалось бы, и преобразования операторов рождения/уничтожения тогда должны быть жестко заданы.

[Bulinator]

rotozeev в сообщении #692376 писал(а):

Ведь изначально как бы неизвестно, может ли данный гамильтониан быть диагонализован или нет.

Для любого эрмитового оператора $\hat{H}$ существует унитарный оператор $\hat{U}$ такой, что оператор $\hat{U}^\dagger\hat{H}\hat{U}$- диагонален.
Matrix Analysis, Horn R A, Johnson C R.

[Munin]

Можно взять любой учебник по линалу.

rotozeev в сообщении #692376 писал(а):

казалось бы, и преобразования операторов рождения/уничтожения тогда должны быть жестко заданы.

Ну, они могут рождать состояния разных базисов.

[rotozeev]

Bulinator в сообщении #692382 писал(а):

rotozeev в сообщении #692376 писал(а):

Ведь изначально как бы неизвестно, может ли данный гамильтониан быть диагонализован или нет.

Для любого эрмитового оператора $\hat{H}$ существует унитарный оператор $\hat{U}$ такой, что оператор $\hat{U}^\dagger\hat{H}\hat{U}$- диагонален.
Matrix Analysis, Horn R A, Johnson C R.

Означает ли это, что любую сколь угодно сложную взаимодействующую систему всегда можно описать как газ невзаимодействующих квазичастиц пусть и с невероятно сложным спектром и непонятным физическим смыслом этих самых квазичастиц?

[Bulinator]

А как это следует из вышесказанного?

[rotozeev]

Bulinator в сообщении #692410 писал(а):

А как это следует из вышесказанного?

Диагонализация исходного сложного гамильтониана это ж и есть переход к новым операторам рождения/уничтожения, которые связаны уже не с исходными частицами, а с новыми, квазичастицами. А диагонализация, получается, всегда возможна, вот я и подумал. Правда остается условие коммутации для новых операторов.

[Munin]

rotozeev в сообщении #692403 писал(а):

Означает ли это, что любую сколь угодно сложную взаимодействующую систему всегда можно описать как газ невзаимодействующих квазичастиц пусть и с невероятно сложным спектром и непонятным физическим смыслом этих самых квазичастиц?

Нет, это было бы другое утверждение. Если частицы не взаимодействуют, то спектр энергии раскладывается в сумму вкладов этих частиц, как линейная функция. А если взаимодействуют, то получается нелинейная функция, и ничего с этим не сделаешь, никакими преобразованиями.

Что смешно, когда я впервые столкнулся со всем этим аппаратом, тоже такая идея в голове была, и вот не нашлось преподавателя, чтобы мне объяснить, что я неправ...