теорема Банаха об обратном операторе

[dmitryf]

Есть пара вопросов по доказательствам к следствияем из теоремы. Сначала быстро приведу их содержание (из книги Колмогорова):

Теорема (Банаха об обратном операторе). Пусть $A$ - линейный ограниченный оператор, взаимнооднозначно отображающий банахово пространство (БП) $E$ на БП $F$. Тогда обратный оператор ограничен.

Следствие 1. (т. об открытом отображении). Линейное непрерывное отображение $A$ БП $E$ на (всё) БП $F$ открыто.

Это вытекает из теоремы и следующей леммы:
Пусть $E$ - БП и $L$ - некоторое его замкнутое подпространство. Отображение $B$ протранства $E$ на фактор-пространство $E/L$, ставящее в соответствие каждому $x$ из $E$ класс смежности, содержащий $x$, открыто.

Доказательство следствия. Представив отображение $A$ пространства $E$ на $F$ как суперпозицию отображения $B$ пространства $E$ на $E/KerA = Z$ (открытого в силу леммы) и взаимно однозначного отображения $C$ пространства $Z$ на $F$ (открытого в силу теоремы), получаем, что $A$ открыто.

Первый вопрос, почему отображение $C$ открыто, как это следует из теоремы?

Следствие 2. (лемма о тройке). Пусть $E, F$ и $G$ - БП и $A,B$ - непрерывные линейные операторы из $E$ в $F$ и из $E$ в $G$, причем $B$ отображает $E$ на все $G$. Если при этом $ KerA \supset KerB $ (1), то существует такой непрерывный линейный оператор $C$, отображающий $G$ в $F$, что $A = CB$.

Доказательство. Рассмотрим для каждого элемента $z$ из $G$ его полный прообраз $B^{-1}z \in E$. Из условия (1) следует, что все элементы x, принадлежащие $B^{-1}z$, переводятся оператором $A$ в один и тот же элемент $y$...

Второй вопрос, непонятно, как это следует из условия?

Буду рад, если кто подскажет.

[dmitryf]

С первым, кажется, разобрался. А - непрерывное отображение, значит B и C тоже должны быть непрерывными (следует из теоремы (0), чтобы отображение было непрерывным необходимо и достаточно, чтобы прообраз всякого открытого множества был открыт). Раз С - непрерывное отображение, то оно ограничено. Значит обратное $C^{-1}$ тоже ограничено и непрерывно. Значит по теореме (0) прообраз в F открытого в Z открыт.

Со вторым пока не понятно, ведь включение ядра говорит, только о том, что оператор А может больше элементов перевести в 0?

[ewert]

dmitryf в сообщении #691016 писал(а):

ведь включение ядра говорит, только о том, что оператор А может больше элементов перевести в 0?

Фиксируйте какай-нибудь элемент из $B^{-1}z$. Любой другой элемент прообраза отличаются от этого фиксированного на некоторый элемент из ядра $B$ -- и, значит, тем более из ядра $A$. Следовательно, $A$ тем более переводит этот любой другой элемент туда же, что и тот фиксированный.

[dmitryf]

А, нуда, в силу линейности оператора, спасибо!