2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение28.02.2013, 20:43 
Аватара пользователя


11/02/13
57
Москва
Для любого натурального $n > 2$ нет таких натуральных $a, b, c, d$, что выполняется равенство $a^n + b^n = c^n + d^n$, кроме тривиального случая $a = c$ и $b = d$
При $d = 0$ получаем ВТФ.

Для пифагоровых троек:
Существуют такие натуральные $a, b$ и $c, d$, что выполняется равенство $a^2  + b^2 = c^2 + d^2$, помимо тривиального случая $a = c$ и $b = d$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение28.02.2013, 21:34 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
tango в сообщении #689254 писал(а):
Для любого натурального $n > 2$ нет таких натуральных $a, b, c, d$, что выполняется равенство $a^n + b^n = c^n + d^n$, кроме тривиального случая $a = c$ и $b = d$
Голословное утверждение.

$1^3+12^3=9^3+10^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение28.02.2013, 22:19 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 !  tango,

зачем Вы публикуете утверждение, не сопровождаемое ни доказательством, ни просьбой доказать/опровергнуть, ни просьбой прокомментировать???

Извольте прочитать Правила форума на предмет оформления дискуссионных тем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение28.02.2013, 22:39 
Аватара пользователя


11/02/13
57
Москва
Цитата:

утверждение, не сопровождаемое ни доказательством, ни просьбой доказать/опровергнуть, ни просьбой прокомментировать???

Извольте прочитать Правила форума на предмет оформления дискуссионных тем.[/mod]


Спасибо. Доказательств, увы, нет.
Доказать/опровергнуть/прокомментировать - а зачем же еще приходить с чем-либо на форум? Про особые правила для дискуссионнных - прошляпил, прошу прощения.

-- 28.02.2013, 22:42 --

[b]venco, спасибо. А если единичку тоже запретить как "тривиальную". Вообще, прошу прощения. Завтра попробую на машине какой-нито алгоритм для поиска таких корней. О результатах доложусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение28.02.2013, 22:47 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
tango в сообщении #689331 писал(а):
venco, спасибо. А если единичку тоже запретить как "тривиальную".
С чего это вдруг она тривиальная? Да и без неё решений бесконечное количество, даже параметрических.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение28.02.2013, 22:56 
Аватара пользователя


11/02/13
57
Москва
venco
Да. Если одна из дуг параболы полностью лежит в другой, то они, конечно, подобны, поскольку неподобными быть не могут.
При машинном переборе рассмотрю отдельно пересекающиеся и непересекающиеся дуги.
Цитата:
С чего это вдруг она тривиальная?
Это я от неожиданности (с перепугу). Конечно, единичка ничуть не хуже всех остальных.
Да. Возможно (очень надеюсь), фишка в том, что дуги параболы должны быть непересекающимися - у Ферма они разделены отрезком [a,b]

-- 28.02.2013, 23:12 --

Вот в такой формулировке:

Для любого натурального $n > 2$ нет таких (натуральных) $a < b < c < d$, что выполняется равенство $b^n - a^n = d^n - c^n$

Не знаю, насколько корректно использовать вычитание при определении выражения на натуральных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение28.02.2013, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
tango в сообщении #689336 писал(а):
Вот в такой формулировке:

Для любого натурального $n > 2$ нет таких (натуральных) $a < b < c < d$, что выполняется равенство $b^n - a^n = d^n - c^n$

Не знаю, насколько корректно использовать вычитание при определении выражения на натуральных числах.
Собственно, все то же самое: $9^3 - 1^3 = 12^3 - 10^3$. Решений бесконечно много, это вылезает из параметризации http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_cubic

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение01.03.2013, 04:37 
Аватара пользователя


25/03/08
241
Вот, в Википедии такое нашёл:

$$
582162^3 +28906206^3 =3064173^3 + 28894803^3 =8519281^3 +28657487^3 =16218068^3 + 27093208^3 =17492496^3 + 26590452^3 =18289922^3 + 26224366^3
$$

$$
635318657 = 59^4 + 158^4 = 133^4 + 134^4
$$

Однако для степеней $n\ge 5$ существование таких чисел неизвестно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение01.03.2013, 07:38 
Аватара пользователя


11/02/13
57
Москва
М-да. С числовыми примерами не поспоришь.
Идея была такая:
Пусть у монотонной возрастающей функции $f(x)$ для неотрицательных целых $x$ есть пифагорова тройка. т.е.
$f(a) + f(b) = f(c)$

От нуля до $a$ левая часть растет в два раза быстрее правой. В точке $a$ прекращаем рост первого слагаемого левой части ("останавливаем" функцию).
От $a$ до $b$ скорость роста левой и правой частей одинакова, в точке $b$ "останавливаем" второй член левой части.
От $b$ до $c$ правая часть возрастает на ту разницу, на которую ее обогнала левая часть от нуля до $a$.

Показалось хорошей идеей отвязаться от нуля и потребовать выполнения того же для любых двух отрезков.
Извините, что не проверил на числах перед тем как выложить здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение01.03.2013, 15:05 
Аватара пользователя


11/02/13
57
Москва
Для $n > 2$ найдутся положительные целые $a < b < c < d$ такие, что выполняется равенство $b^n - a^n = d^n - c^n$, в том и только том случае, когда $a > 0$

Оправдание Пифагора: особая роль единицы - наличный факт.

Однако, что такого скрыто в этом хвостике $[0,1]$, что так резко меняются свойства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение01.03.2013, 16:38 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
tango в сообщении #689517 писал(а):
... найдутся положительные целые $a < b < c < d$ ... в том и только том случае, когда $a > 0$
А есть другие положительные целые? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение01.03.2013, 18:47 
Аватара пользователя


11/02/13
57
Москва
venco
Да вот же, мучаюсь с этим с момента появления на форуме. С одной стороны - натуральные. С другой - вычитание имеет место быть. А неправильно выражаться нельзя, ибо полшага до бана. И что делать?

Кстати, есть какое-нибудь специальное название для функции, которая равна единице везде, кроме нуля, и ноль в нуле? Если нет, можно ее назвать функцией существования?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение02.03.2013, 17:16 
Аватара пользователя


11/02/13
57
Москва
А ведь всё очень просто :o
Единичка участвует в вычитаниях и сложениях - когда мы оперируем аргументами (длиной отрезков оси $x$, а в степенях (при вычислении функции) - нет.
Поэтому, чтобы формулировка из первого сообщения сработала, надо добавить единичку. При переходе к теореме Ферма - эту единичку заменить нулем.
Нужная функция может быть записана как корень бесконечной степени из $a$ - в нуле это ноль, при всех других аргументах - единица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение02.03.2013, 18:11 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
tango, ваши сообщения в этой теме становятся всё бредовее и бредовее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.
Сообщение04.03.2013, 06:39 
Аватара пользователя


11/02/13
57
Москва
venco
Увы. Написал свою программу-проверялку - холодный душ.
Но какие новые горизонты открылись!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group