Как доказать теорему о секущих?

[Andrei94]

Формулировка:

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

Рисунок (на всякий случай сделал дополнительные построения). Т.е. Теорема говорит о том, что $CF\cdot CE=CB\cdot CD$



Пока очевидно, что $AB=AF=AE=AD$ (радиусы).

Пока что ничего больше не приходит в голову, может подскажите -- с чего начать?

[ewert]

Провести касательную и посмотреть учебник.

[Andrei94]

Ой, уже нашел док-во правда с опечаткой, там что-то смежные углы напутали.
http://hijos.ru/2012/01/13/sekushhie-k-okruzhnosti/

[ewert]

Ну это дурное доказательство. А вот в любом учебнике должна быть известная теорема: произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. И следует это мгновенно из подобия треугольников $CMB$ и $CMD$, где $CBD$ -- секущая и $CM$ -- касательная.

[Andrei94]

ewert в сообщении #690519 писал(а):

Ну это дурное доказательство. А вот в любом учебнике должна быть известная теорема: произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. И следует это мгновенно из подобия треугольников $CMB$ и $CMD$, где $CBD$ -- секущая и $CM$ -- касательная.

Ну так это же следствие той теоремы, которую я хотел доказать)

[ewert]

Andrei94 в сообщении #690525 писал(а):

Ну так это же следствие той теоремы, которую я хотел доказать)

Вообще-то наоборот.

[Andrei94]

ewert в сообщении #690531 писал(а):

Вообще-то наоборот.

Теорема о секущих. $CE\cdot CD=CF\cdot CB$



Если точки $F$ и $B$ совпадают, то получаем теорему о касательной и секущей $CB^2=AD\cdot CE$

[ewert]

Это правда, но, говоря формально, здесь некоторое жульничество: фактически используется предельный переход от секущей к касательной, что в рамках школьной геометрии как-то не особенно приветствуется (во всяком случае, без необходимости).

А вот в обратную сторону равенство произведений есть прямое следствие их равенства квадрату касательной. Кроме того, теорему про касательную знать в любом случае обязательно надо.

[_Ivana]

Мне при первом взгляде бросилось в глаза подобие треугольников $CFB$ и $CDE$, доказывается элементарно: один угол общий, другие соответственно равны, т.к. сами углы и их дополнения до развернутых опираются на противоположные дуги окружности. Без касательных и других теорем.

[TOTAL]

Andrei94 в сообщении #690541 писал(а):

По теореме Пифагора

$$ |CA|^2 = \left( |CE|+\frac12|ED| \right)^2 +\left( R^2-\frac14|ED|^2 \right) =|CE| \cdot |CD| + R^2$$

[ewert]

TOTAL в сообщении #690550 писал(а):

По теореме Пифагора

$|CA|^2=|CM|^2$. Как-то я не вполне в этом уверен.

[Andrei94]

ewert в сообщении #690544 писал(а):

Это правда, но, говоря формально, здесь некоторое жульничество: фактически используется предельный переход от секущей к касательной, что в рамках школьной геометрии как-то не особенно приветствуется (во всяком случае, без необходимости).

А вот в обратную сторону равенство произведений есть прямое следствие их равенства квадрату касательной. Кроме того, теорему про касательную знать в любом случае обязательно надо.

Ок, спасибо, что-то у меня не получилось доказать подобие.

ewert в сообщении #690519 писал(а):

Ну это дурное доказательство. А вот в любом учебнике должна быть известная теорема: произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. И следует это мгновенно из подобия треугольников $CMB$ и $CMD$, где $CBD$ -- секущая и $CM$ -- касательная.

Вижу только общую сторону $MD$ и общий угол $D$, нужно что-то еще. А на глаз они не очень-то подобны)

[ewert]

Andrei94 в сообщении #690561 писал(а):

что-то у меня не получилось доказать подобие.

Вы же не тот треугольник рассматриваете, причём даже совсем не тот, что нужен. Протяните секущую до второго пересечения с окружностью, как ей и положено быть.

[Andrei94]

_Ivana в сообщении #690548 писал(а):

Мне при первом взгляде бросилось в глаза подобие треугольников $CFB$ и $CDE$, доказывается элементарно: один угол общий, другие соответственно равны, т.к. сами углы и их дополнения до развернутых опираются на противоположные дуги окружности. Без касательных и других теорем.

Спасибо, а можно чуть-чуть подробнее, что-то мне пока не очевидно это...(убрал лишние построения там что-то переобозначчилось)



Вот эта фраза не очень понятна "сами углы и их дополнения до развернутых опираются на противоположные дуги окружности"

[_Ivana]

Andrei94, следите за руками: угол $CDB$ опирается на дугу $BE$, угол $EFB$ на ее дополнение до полной окружности, значит их сумма равна развернутому углу, а угол $EFB$ является дополнением до развернутого к углу $EFC$