задача по конструктивной геометрии

[gris]

Площадь прямоугольника выразите через квадрат диагонали и синус угла между диагоналями. Ну да, тут обычная пропорция, не надо вводить единичный отрезок.

[ewert]

gracheva в сообщении #689496 писал(а):

как построить прямоугольник с данной диагональю равновеликий данному треугольнику алгебраическим методом ?

Боюсь, что никак. Тут одно из двух -- или построить, или алгебраическим.

Если алгебраическим, то тривиально: составляем для сторон прямоугольника систему из двух уравнений, параметрами которой являются площадь и длина диагонали.

Если построить (циркулем и линейкой), то превратите треугольник в равновеликий параллелограмм, потом деформируйте последний с сохранением какого-нибудь из оснований и соответствующей высоты так, чьлбы получить требуемую длину диагонали и, наконец, полученный параллелограмм деформируйте с сохранением площади и длины диагонали в прямоугольник.

[gris]

Алгебраический подход означает не только построение и решение системы уравнений, но и указания, как эти построения осуществить с помощью циркуля и линейки. Для построения прямоугольника удобнее брать не стороны, а диагональ и перпендикуляр, опущенный на неё из противоположной стороны. Если разрешается проводить предварительные построения, то строим высоту треугольника и с помощью Фалеса находим сразу неизвестный и требуемый член пропорции. Если нельзя проводить построения и треугольник задан сторонами, то расписываем Герона до нескольких пропорций, которые решаются смежными Фалесами.

[ewert]

gris в сообщении #689622 писал(а):

и с помощью Фалеса

Фалес (тем более Герон) -- это не циркуль и даже не линейка. Так что приходится выбирать: или считать, или строить.

[gris]

А мы и не считаем. Длины у нас не даны. Алгебра нужна для составления алгоритма построения. А для обоснования нужен Герон. Ну не сам Герон, конечно, а метод построения равноплощадного квадрата, скажем, по длинам сторон отрезка. Основанный на теореме Герона. Герона, да. И теорема Фалеса, которую можно и подобием заменить. Но деформировать прямоугольник в равноплощадной с заданной диагональю без Фалеса это уж очень сложно.

[ewert]

gris в сообщении #689627 писал(а):

Но деформировать прямоугольник в равноплощадной с заданной диагональю без Фалеса это уж очень сложно.

Запросто -- просто постройте окружность на той диагонали как на диаметре и скользаните альтернативные вершины параллелограмма по линиям, параллельным диагонали. Точки пересечения с окружностью и дадут искомый прямоугольник. Герон же -- запрещён.

-- Пт мар 01, 2013 21:02:13 --

Упс, пардон, в два раза большей площади. Но это уже не суть.

[gris]

Ага, попробуйте это проделать, не исколов рук до крови. Ладно, оставим Герона. Просто мне кажется, что он вполне эффективен. Просто надо его правильно использовать. Не умножать и не извлекать корень. Ну нет, так нет.

[BVR]

Это же школа. Там есть набор формул, которые они строить умеют. Например построение 4-го пропорционального отрезка (по трем данным отрезкам). Пусть $a$ - сторона данного треугольника, $h$ высота, опущенная на эту сторону. $\alpha$ - угол между диагоналями прямоугольника, $d$ - диагональ. Тогда $d^{2}\sin{\alpha}=ah$. Значит, $\sin{\alpha}=\frac{x}{d}$, где $x=\frac{a\cdot{h}}{d}$ - как раз и есть 4-е пропорциональное трех отрезков $a, h, d$. Зная синус - строим угол и диагонали под этим углом.
Что касается существования решения, то о нем обычно говорят в "Исследовании". Здесь - это условие на отрезки $x$ и $d$ "когда синус неопределен"

-- Сб мар 02, 2013 17:55:20 --

Я немного подробнее расписал идею gris - ну, вроде для школьников

[Shadow]

Строим прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=d,CB=a$ На катете $AB$ находим т. H, $AH=h/2$ ($a,h$ - сторона и высота исходного тр-ка) Строим отрезок $HM \bot AB, M \in AC$ Из т. M строим прямую, паралленьную $AB$ и окружность с диаметром $AB$. Одна из точек пересечения окружности с прямой будет вершина прямоугольника.

-- 02.03.2013, 15:45 --

Можно еще уменьшить число построений...

[Shadow]

Да, у исходниги тр-ка $ABC$ отметим середину высоты М к $AB$ Любой тр-к с стороной $AB$ и такой высотой будет именть нужную площадь. Чертим прямую $c \parallel AB, M \in c$ и окружность с центром А радиусом $d$, пересекающиеся в т.D. $\triangle ABD$ имеет нужную площадь и сторона длиной $d$, но не будет прямоугольным, так что "двигая" т.B параллельно AD получим и прямоугольный.

ewert в сообщении #689614 писал(а):

Если построить (циркулем и линейкой), то превратите треугольник в равновеликий параллелограмм, потом деформируйте последний с сохранением какого-нибудь из оснований и соответствующей высоты так, чьлбы получить требуемую длину диагонали и, наконец, полученный параллелограмм деформируйте с сохранением площади и длины диагонали в прямоугольник

дошло