Условное матожидание для дискретных величин

[r2d2study]

Изучаю тему по учебнику Ширяева "Вероятность".

Пытаюсь разобраться с упражнением 2 из параграфа 8:

"...показать, что: $\mathbb{D}\xi = \mathbb{E}\mathbb{D}(\xi | \mathcal{D}) \mathbb{D} \mathbb{E} (\xi | \mathcal{D}) $", – где $\mathcal{D}$ некоторое разбиение.

Я попытался просто расписать оба слагаемых, с первым проблемы:

$$ \mathbb{E}\mathbb{D}(\xi | \mathcal{D}) = \mathbb{E} \left[ \mathbb{E} \left( \xi - \mathbb{E} (\xi | \mathcal{D}) \right)^2 | \mathcal{D} \right] = \mathbb{E} \left( \xi - \mathbb{E} (\xi | \mathcal{D}) \right)^2 = \mathbb{E}\xi^2 - 2\mathbb{E} \left( \xi \cdot \mathbb{E} (\xi | \mathcal{D}) \right) + \mathbb{E}(\mathbb{E} (\xi | \mathcal{D})^2) .$$

И дальше все получится (с учетом второго слагаемого), если показать, что:

$$ \mathbb{E} \left( \xi \cdot \mathbb{E} (\xi | \mathcal{D}) \right) = \mathbb{E}(\mathbb{E} (\xi | \mathcal{D})^2). $$

Но это у меня так и не получилось. Не подскажете, как это показать? Или я вообще где-то ошибся и сделал неправильный вывод?

Спасибо!

[--mS--]

r2d2study в сообщении #687150 писал(а):

Я попытался просто расписать оба слагаемых, с первым проблемы:

$$ \mathbb{E}\mathbb{D}(\xi | \mathcal{D}) = \mathbb{E} \left[ \mathbb{E} \left( \xi - \mathbb{E} (\xi | \mathcal{D}) \right)^2 | \mathcal{D} \right] = \mathbb{E} \left( \xi - \mathbb{E} (\xi | \mathcal{D}) \right)^2 = \mathbb{E}\xi^2 - 2\mathbb{E} \left( \xi \cdot \mathbb{E} (\xi | \mathcal{D}) \right) + \mathbb{E}(\mathbb{E} (\xi | \mathcal{D})^2) .$$

Начнём с того, что первое же равенство неверно (второе тоже). Аккуратно подставьте определение условной дисперсии под знак матожидания. Наружное матожидание - безусловное, а у Вас написано условное.

[r2d2study]

Да, прошу прощения, это я так по-дурацки написал, но имел в виду именно то, что Вы говорите, – внешнее матожидание безусловное. То есть:

$$ \mathbb{E} \left[ \mathbb{E}\left[ (\xi - \mathbb{E} (\xi | \mathcal{D}))^2 | \mathcal{D} \right] \right] = \mathbb{E} (\xi - \mathbb{E} (\xi | \mathcal{D}))^2 = \mathbb{E} \xi^2 - 2 \mathbb{E}\left[ \xi \cdot \mathbb{E} (\xi | \mathcal{D} )\right] + \mathbb{E} \left[ \mathbb{E} (\xi | \mathcal{D})^2 \right].$$

[--mS--]

r2d2study в сообщении #687150 писал(а):

И дальше все получится (с учетом второго слагаемого), если показать, что:

$$ \mathbb{E} \left( \xi \cdot \mathbb{E} (\xi | \mathcal{D}) \right) = \mathbb{E}(\mathbb{E} (\xi | \mathcal{D})^2). $$

Простите, ради бога. Думать лень, отвечаешь первое попавшееся, вот и отняла и Ваше и своё время на ерунду. Обозначим $\eta=\mathsf E(\xi | \mathcal D)$. Тогда по формуле последовательного усреднения

$$ \mathsf E ( \xi \cdot \eta) = \mathsf E \mathsf E (\xi \eta | \mathcal D) = \mathsf E(\eta \mathsf E (\xi | \mathcal D)) = \mathsf E\eta^2. $$

Во втором равенстве $\eta$ вынеслась за знак УМО как константа, потому как измерима относительно $\mathcal D$.

[r2d2study]

Спасибо, все понятно!