Определение предела и число эпсилон

[henehen]

Добрый день. уважаемые форумчане !
Здесь я первый раз и, соответственно, создаю первую тему, поэтому прошу вас быть ко мне снисходительными.
Ввиду начала изучения теории пределов у меня возникли вопросы.

1. Предел последовательности.
Цитирую:

Цитата:

Число а называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого положительного числа $\varepsilon$ найдется такое натуральное число N, что при всех $n > N$ выполняется неравенство
$|x_n - a| < \varepsilon$

2. Геометрический смысл того же предела последовательности:

Цитата:

Число а называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любой $\varepsilon$-окрестности точки а найдётся натуральное число N, что все значения $x_n$, для которых $n > N$, попадут в $\varepsilon$-окрестность точки а.

Не могу понять, откуда здесь вообще число эпсилон ? Меня удивляет то, что вплоть до определения предела последовательности числа $\varepsilon$ не было как такового. Сути эпсилон в данном определении я не понимаю категорически. За что конкретно отвечает переменная $N, n и ε$ ? Будьте добры, разьясните мне, пожалуйста, смысл эпсилона.

Да, и ещё: "N" - это номер последовательности или число из последовательности ? Аналогично и с "n".

Я просмотрел дальше определение предела функции - это ещё закрученнее, чем я ожидал. Если определение предела функции по Гейне более-менее понятно (при том, что я не понимаю предела последовательности :) ), то определение предела функции по Коши или на "языке $\varepsilon$ – $\delta$" для меня равносильно китайскому. :(

Заранее благодарен за ответ.

[Nemiroff]

henehen в сообщении #684632 писал(а):

Сути эпсилон в данном определении я не понимаю категорически.

Некоторое число - есть предел последовательности, если какой бы маленький промежуток мы вокруг него ни взяли, всё равно, начиная с некоторого элемента вся последовательность будет лежать в промежутке.
То есть, первые сколько-то членов последовательности лежат где-то. А вся оставшаяся последовательность (бесконечная) лежит возле своего предела. Причем, "возле" - это сколь угодно близко.
Так вот $\varepsilon$ - это ширина интервала. $N$ - это просто номер, начиная с которого элементы уже внутри интервала. А $n$ нумерует члены последовательности - $x_n$ - это член последовательности (число какое-то) с номером $n$.

[ИСН]

Весь подход не такой. Откуда здесь число $\varepsilon$? Ниоткуда. Здесь нет числа $\varepsilon$. Здесь на самом деле написано вот что:
Число а называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого положительного числа найдется такой номер, начиная с которого, разность $|x_n - a|$ будет меньше, чем то число.

[gris]

Этак Вы все буквы поудаляете.

[ИСН]

Да легко. Это же и есть цель. Текст будет состоять из сплошных оборотов "ну этот, двоюродный племянник того самого, которого...", и человек сам придёт к необходимости как-то что-то обозначить.

[gris]

Суперметодично!

[henehen]

ИСН в сообщении #684744 писал(а):

Число а называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого положительного числа найдется такой номер, начиная с которого, разность $|x_n - a|$ будет меньше, чем то число.

Отлично, мне понравился ответ.
Но как же тогда быть в отношении примерно таких же по стилю определений предела функции ?
Цитирую:

Цитата:

Число А называется пределом функции в точке $x_0$ (или при $x \to x_0$), если для любого положительного $\varepsilon$ найдётся такое положительное число $\delta$, что для всех $x \ne x_0$, удовлетворяющих неравенству $|x - x_0| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - A| < \varepsilon$

Это как вообще понять ? Что такое, например, "окрестность эпсилон" (взято из следующих глав после определений пределов как последовательности, так и фунции) ?

PS. Причём, что самое интересное, такая привычка "объяснять" через левые переменные навроде эпсилонов и дельт сохраняется практически во всех учебниках и методичках, что весьма здорово способствует механическому использованию математики (не вникая ни во что) и убивает напрочь желание учиться.

-- 16.02.2013, 22:34 --

И вообще, если кто-то мне объяснит человеческим языком на пальцах всю эту эпсилон-дельту технику, то я буду нечеловечески ему благодарен =)

[ИСН]

Точно так же и понять. А называется пределом функции в точке $x_0$ (или при $x \to x_0$), если для любого положительного числа найдётся такая маленькая окрестность $x_0$, что для всех иксов из неё $|f(x) - A|$ будет меньше того числа.

[roro]

на пальцах язык эпсилон-дельта означает:
если брать значения $x$ "вблизи" точки $x_0$, то соответствующие значения $y$ будут находится "вблизи" точки А
или при приближении $x$ к $x_0$, значения $y$ приближаются к A. вот и всё