Задачи на доказательство об экстремумах

[boomeer]

1) Доказать, что множество точек, в которых функция $f:R \rightarrow R$ имеет строгий локальный экстремум, не более чем счетно
2) Построить функцию, точки строгих максимумов и минимумов которой находятся в любом интервале числовой оси.
Вроде подходит пила Вейерштрасса, но как доказать?..
3) Пусть функция непрерывна на числовой прямой $R$ и ни на одном интервале не является монотонной. Как доказать, что на любом интервале имеются точки минимума функции?

[xmaister]

boomeer в сообщении #683255 писал(а):

3) Пусть функция непрерывна на числовой прямой и ни на одном интервале не является монотонной. Как доказать, что на любом интервале имеются точки минимума функции?

Это простая задача. Начните решать, а я Вам помогу.

[boomeer]

Про 3ю) формулировка равносильна следущей : Если функция $f: R \rightarrow R$ непрерывна на $R$ и на некотором интервале не имеет точек минимума, то существует интервал, на котором она монотонна. (Этот интервал не обязан совпадать с первым интервалом, но его можно найти внутри первого). Верно?
Это вроде проще, но как это доказать?.. От противного?
И с двумя предыдущими вообще глухо...

[bot]

(Оффтоп)

boomeer в сообщении #684077 писал(а):

Про 3ю

Про дядюшку Зю?

[Slumber]

С первой есть идея - всегда не более, чем счетно разбиение на непересекающиеся интервалы, полуинтервалы или отрезки, нужно и здесь их найти. Можно попробовать добыть что-то из условий экстремума - там фигурируют производные. А может, просто по определению - раз экстремум строгий, то есть проколотая окрестность, в которой строгое неравенство.

[xmaister]

boomeer в сообщении #683255 писал(а):

Вроде подходит пила Вейерштрасса, но как доказать?..

Да, пользуйтесь задачей 3.

-- 16.02.2013, 13:10 --

boomeer в сообщении #683255 писал(а):

1) Доказать, что множество точек, в которых функция $f:R \rightarrow R$ имеет строгий локальный экстремум, не более чем счетно

Что значит "строгий"?

[Null]

у $y(x)=1$ в точке 0 экстремум есть но не строгий.