помогите с задачкой (теор вер)

[houkstu]

Помогите решить задачку...

Условие:
$\xi , \eta -$ равномерно распределены на $[0;\alpha]$.
Найти плотность распределения: $\xi \cdot \eta$

Формула есть а что дальше не знаю
$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{s}P_\xi(\frac{t}{s}) P_\eta(s)ds$
И $P_\eta(s)=\frac{1}{\alpha}$

[gris]

Может быть чисто геометрически решить, через площадь?
Величины независимы, конечно. Произведение распределено в квадрате, нужная площадь отгораживается гиперболой.

[houkstu]

Я уже приносил преподавателю несколько методов решения, но надо именно этот, у меня есть пример с суммой , а мне сказали с произведением сделать...
Мне ее сдать и будет зачет :(
Могу чуть позже выложить про сумму

[gris]

Ну в принципе формула пойдёт , только интеграл надо разбить на два с учётом интервала, в котором распределены сомножители. От $0$ до $t/a$ и от $t/a$ до $a$. В первом интервале интегрируем константу, во втором гиперболу. Вы картинку-то нарисуйте. Получится незамысловатая функция распределения. Продифференцируем и получим плотность.

[--mS--]

(Оффтоп)

Это уже плотность.

[gris]

Пардон. Я чисто по-бытовому, через двойной интеграл.
Есть квадрат $a\times a$ ну пусть в обычных координатах $xOy$.
Для $t\in (0;a^2)$ посчитаем нормированную площадь фигуры влево-вниз от гиперболы $xy=t$. Это же будет функцией распределения произведения?

А если напрямую с помощью формулы ТС, то да, получим плотность, но там сложнее будет выпутаться из вопросов, если они возникнут. Да и расставлять пределы интегрирования надо.

[--mS--]

houkstu в сообщении #683357 писал(а):

Формула есть а что дальше не знаю

Подставлять плотности пробовали?

[houkstu]

Мне сказали что надо через неравенство посмотреть в каком промежутке находиться $S$, то есть будешь наш промежуток $[0;\alpha]$ и еще какой-то и их надо будет объединить и потом уже получиться ответ, точнее их там будет несколько на разных промежутках...

[--mS--]

О каком $S$ речь? Повторю вопрос: плотности в интеграл подставлять пробовали?

[gris]

У вас в интеграле переменная интегрирования изменяется от минус до плюс бесконечности. Вот это$P_\eta(s)=\frac{1}{\alpha}$ вас сбивает с толку. Эта формула, как и такая же для второй плотности, работает только на интервале $0<s<\alpha$, а вне этого интервала плотность другая. В нашем случае плотность это ступенчатая функция. Вот всю функцию и надо подставлять, а не просто её значение в одной точке. При этом ступеньки для первой и второй плотности в интеграле получаются разные по ширине из-за того, что аргументы отличаются. Вот и надо для каждой плотности в интеграле вначале определить эту ступеньку. Там просто, но почему-то это всегда вызывает непреодолимые трудности.