Доказана ли теорема Ферма?

[venco]

tango в сообщении #682943 писал(а):

Если это было именно обобщение, то условия гипотезы (ныне теоремы) необходимо должны включать в себя условия ВТФ

Наоборот. Условия ВТФ удовлетворяют условиям теоремы о модулярности, а значит теорема о модулярности доказывает и ВТФ тоже.

[Belfegor]

Уважаемый tango!
Вот из этой цитаты:
"Когда Фрею предоставили слово для доклада, он начал с того, что выписал уравнение Ферма
$x^n + y^n = z^n$
где n — натуральное число больше 2. Великая теорема Ферма утверждает, что это уравнение не имеет решений в целых числах. Фрей исследовал вопрос о том, что бы произошло, если бы Великая теорема Ферма оказалась неверной, т.е. если бы уравнение Ферма допускало бы по крайней мере одно решение в целых числах. Фрей не имел ни малейшего представления о том, каким могло бы быть его гипотетическое (и еретическое) решение, поэтому неизвестные целые числа, якобы удовлетворяющие уравнению Ферма, он обозначил буквами A, B и C. Тем самым он предположил, что для некоторого N выполнено равенство:
$A^N + B^N=C^N$

Затем Фрей приступил к «преобразованию» уравнения. Это строгая математическая процедура, изменяющая вид уравнения, оставляя неизменной его сущность. С помощью искусных и сложных маневров Фрею удалось преобразовать исходное уравнение Ферма, обладающее гипотетическим решением, к виду
$y^2 = x^3 + (A^N - B^N)x^2 - A^NB^N$.

Хотя полученное уравнение по своему внешнему виду очень сильно отличается от исходного, тем не менее оно является его прямым следствием с учетом принятой гипотезы."

следует, что преобразование Фрея - серьёзная штука, поэтому неудивительно, что вы не прогуглили его . Интересно, что в преобразованном уравнении исчезло $ C^N$...

[tango]

Добрый вечер, заслуженный участник Someone.

Цитата:

И что именно там перекликается и каким образом?

На это я не смогу сходу ответить. Собственно, это - скорее мой вопрос (заданный мною).

Цитата:

Вы ВТФ сформулировать правильно можете?

Уверен, могу сделать копи-паст. Какая формулировка требуется, авторская или из вики?

Цитата:

Сформулируйте, пожалуйста.

Зачем? Не то, чтобы я хотел непременно отказать вам, но, может быть, это можно сделать как-то проще?

Цитата:

Опять же, сформулируйте эту гипотезу и покажите, где именно там включены условия ВТФ

Опять же - зачем? Мы ведь процитировали в своем вопросе моё - "Если это было именно обобщение". Это был вопрос по фразе об обобщении из вики (ссылка приложена). Т.е. вопрос (мой) был сформулирован в достаточно общем, касающемся не только оной гипотезы, виде: более общая теория включает в свои условия (аксиоматику, постулирование) условия частного случая или нет?
Обобщил Танияма ВТФ или нет?

Пользуясь случаем, повторю просьбу: не может ли кто-нибудь поделиться ссылкой на материал, содержащий вывод Фреем эллиптического уравнения из уравнения ВТФ?

-- 12.02.2013, 21:06 --

Добрый вечер, заслуженный участник venco.

Цитата:

Наоборот. Условия ВТФ удовлетворяют условиям теоремы о модулярности

Спасибо, именно это я и хотел услышать. Только почему "наоборот"? Если условия ВТФ удовлетворяют условиям теоремы о модулярности, то последние включают первые, как более общие включают частный случай, разве не так?

[venco]

tango, вам надо бы подробно определить, что вы имеете в виду под словами "включает", и "удовлетворяют". Ну или логику подучить, возможно именно в этом проблема вашего непонимания.

Давайте рассмотрим более простой случай, чтобы было очевиднее.

Условие А: число делится на 4.
Условие Б: число делится на 2.

Если какое-либо число удовлетворяет условию А, то оно также удовлетворяет условию Б.
Соответственно, условие Б - более общее, чем условие А.

А вот теперь попробуйте сформулировать, что вы подразумеваете под "условие Б включает условие А".

[tango]

Добрый вечер, уважаемый Belfegor.

Цитата:

преобразование Фрея - серьёзная штука

Да. Имхо, именно здесь была доказана (если была) ВТФ. И пропала там не только $C^N$, но так же и $z$.
Всё же, имхо опять же, самое интересное - как обосновано снижение степени до кубов&квадратов c $n \to ∞ $

-- 12.02.2013, 21:23 --

venco, спасибо.
Завтра я постараюсь соотнести условия ВТФ и условиями определения модулярных форм. Заодно и на вопрос участника Someone ответить.
Удачной ночи!

[tango]

Увы, ничего хорошего. Надо все-таки подождать мнения специалистов.
Если модулярная форма - это функция, отвечающая определенным условиям, то как сделать функцию из ВТФ?
Придется таки поискать преобразование Фрея.

[TR63]

venco в сообщении #683069 писал(а):

tango, вам надо бы подробно определить, что вы имеете в виду под словами "включает", и "удовлетворяют". Ну или логику подучить, возможно именно в этом проблема вашего непонимания.

Давайте рассмотрим более простой случай, чтобы было очевиднее.

Условие А: число делится на 4.
Условие Б: число делится на 2.

Если какое-либо число удовлетворяет условию А, то оно также удовлетворяет условию Б.
Соответственно, условие Б - более общее, чем условие А.

А вот теперь попробуйте сформулировать, что вы подразумеваете под "условие Б включает условие А".

venco,
Ваш пример относится к высказываниям (А,Б), содержащим ограниченное количество условий. А, если количество счётное? Ситуация может изменится?

[Belfegor]

Уважаемый tango!
Посмотрите у Рибенбойма П. в "Последней теореме Ферма"- стр 385 "Кривые Фрея". У него хотя бы видно куда исчезли некоторые члены уравнения!

-- Ср фев 13, 2013 21:35:11 --

Уважаемый tango!
Вот, кстати. у меня получилось несовпадение уравнений Фрея по Сингху и по Рибенбойму:
1. У Сингха:
окончательное "преобразованное уравнение Фрея":
$y^2 = x^3 + (A^N - B^N)x^2 - A^NB^N\qquad\ (1)$

2. У Рибенбойма:
...Фрей рассмотрел эллиптическую кривую, задаваемую уравнением
$y^2 = x (x - A)(x - B)$\qquad\ (2).

...Если последняя теоремы Ферма неверна для простого показателя $q \ge 5$, то пусть a,b,c - натуральные попарно взаимно простые числа, такие, что число a четно и
$a^q + b^q = c^q$. Пусть $A =a^q, B=b^q$...

Подставляем значения A и B в (2) и начинаем "«преобразование» уравнения в соответствие со строгой математической процедурой, изменяющей вид уравнения, оставляя неизменной его сущность"!

Получаем:
$y^2 = x (x - a^q)(x - b^q)= x (x^2 - xa^q - xb^q+a^qb^q)$

$y^2=x^3 - (a^q+b^q)x^2 + (a^qb^q)x\qquad\ (3)$

$y^2=x^3 - (c^q)x^2 + (a^qb^q)x\qquad\ (4)$

Уравнение (1) и уравнения (3) и (4) заметно различаются! В (3) и (4) вообще нет свободного члена уравнения!

[tango]

Доброе утро, уважаемый Belfegor.
Признаюсь, Сингха я вообще не смог прочитать из-за всесмывающего потока патоки. Похоже, что для всестороннего рассмотрения феномена британского ученого следует его рассмотреть и с той стороны, с которой Королевское Научное Общество сначала Королевское, а потом - научное.
За наводку на Рибенбойма примите уверения в совершеннейшем почтении

-- 14.02.2013, 10:34 --

Уважаемый Belfegor!
Однако... на стр.385 упомянутого сочинения содержится явное ограничение по сравнению с условиями ВТФ:
"пусть a,b,c - натуральные попарно взаимно простые числа, такие, что a четно"

Если это ограничение далее по тексту не расширено, то ВТФ можно спокойно "закрыть" и на вопрос топик-стартера ответить "НЕТ!"

[ananova]

tango в сообщении #683713 писал(а):

За наводку на Рибенбойма примите уверения в совершеннейшем почтении

-- 14.02.2013, 10:34 --

Уважаемый Belfegor!
Однако... на стр.385 упомянутого сочинения содержится явное ограничение по сравнению с условиями ВТФ:
"пусть a,b,c - натуральные попарно взаимно простые числа, такие, что a четно"

Если это ограничение далее по тексту не расширено, то ВТФ можно спокойно "закрыть" и на вопрос топик-стартера ответить "НЕТ!"

Позвольте уточнить Вашу мысль про явное ограничение. Как бы, я так понимаю, что упомянутые ограничения ("a,b,c - натуральные попарно взаимно простые числа, такие, что a четно") чуть ли не на каждой странице Рибенбойма можно встретить и без кривой Фрея.

-- Чт фев 14, 2013 12:30:27 --

Belfegor в сообщении #683516 писал(а):

равнение (1) и уравнения (3) и (4) заметно различаются! В (3) и (4) вообще нет свободного члена уравнения!

Да, я тоже это заметил. Где-то еще попадался мне вывод кривой Фрея и там была еще одна версия этих уравнений.. не похожих на упомянутые.

[Ontt]

tango в сообщении #683713 писал(а):

содержится явное ограничение по сравнению с условиями ВТФ: "пусть a,b,c - натуральные попарно взаимно простые числа, такие, что a четно"

Очевидно, что если $a, b, c$ - натуральные попарно НЕ взаимно простые, то либо их можно привести к взаимно простым, либо равенство не будет иметь решений. Также очевидно, что либо $a$, либо $b$ должно быть четным. Для удобства четное число можно записывать хоть на первом, хоть на втором месте.

[tango]

ananova

Цитата:

Позвольте уточнить Вашу мысль про явное ограничение. Как бы, я так понимаю, что упомянутые ограничения ("a,b,c - натуральные попарно взаимно простые числа, такие, что a четно") чуть ли не на каждой странице Рибенбойма можно встретить и без кривой Фрея.

Я, к сожалению, бегло глянул только на главку со стр.385.
ВТФ содержит только одно требование к этим числам - они должны быть натуральными (чтобы представлять целое число единиц измерения ребер многомерных - от трех измерений - кубов).

-- 14.02.2013, 12:54 --

Ontt

Цитата:

Очевидно, что если $a, b, c$ - натуральные попарно НЕ взаимно простые, то либо их можно привести к взаимно простым, либо равенство не будет иметь решений. Также очевидно, что либо $a$, либо $b$ должно быть четным.

Извините, я не настолько хорошо знаком с практикой британских ученых, чтобы утверждать, что слово "Очевидно" активно используется ими (в частности - Вайлсом) в доказательствах.

[ananova]

tango в сообщении #683776 писал(а):

ananova
Цитата:
Позвольте уточнить Вашу мысль про явное ограничение. Как бы, я так понимаю, что упомянутые ограничения ("a,b,c - натуральные попарно взаимно простые числа, такие, что a четно") чуть ли не на каждой странице Рибенбойма можно встретить и без кривой Фрея.

Я, к сожалению, бегло глянул только на главку со стр.385.
ВТФ содержит только одно требование к этим числам - они должны быть натуральными (чтобы представлять целое число единиц измерения ребер многомерных - от трех измерений - кубов).

В Вашем изложении впервые слышу об этом требовании. Можете привести ссылочку на первоисточник?

[tango]

ananova

Цитата:

В Вашем изложении впервые слышу об этом требовании. Можете привести ссылочку на первоисточник?

Первоисточник недоступен - та книжка, на полях которой Ферма сделал свою заметку, местонахождением неизвестна.
Однако, очевидно(!), сохранился текст этой заметки:

Цитата:

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем.

или, в современном изложении, так:

Цитата:

...уравнение...не имеет натуральных решений

восьмая задача Диофанта, комметарии к которой послужили темой текущего подфорума:

Цитата:

«Данный квадрат разделить на два квадрата.

Пусть предложено 16 разделить на два квадрата. И положим первый x2, а другой тогда будет 16 – x2; таким образом, должно быть
16 – x2 = .

Образуем этот квадрат из нескольких x минус столько единиц, сколько содержится в стороне 16; пусть будет 2x – 4, что в квадрате даст
4x2 + 16 – 16x.

Это равно
16 – x2.

К обеим частям прибавим отрицательные (члены) и сделаем приведение подобных. Тогда
5x2 = 16x и x = 16/5.

Один будет 256/25, другой 144/25, сумма их будет 400/25 = 16, и каждый из них будет квадратом».

[Ontt]

tango в сообщении #683776 писал(а):

Извините, я не настолько хорошо знаком с практикой британских ученых, чтобы утверждать, что слово "Очевидно" активно используется ими (в частности - Вайлсом) в доказательствах.

Не понятно. Вам не понравилось слово "очевидно" (которое использовал я, а не британские ученые), или Вы возражаете, что ВТФ для не взаимно простых $a, b, c$ доказывается элементарно?