Две тестовые задачи, ваше размышление, из Арнольда

[victor1991]

1) Будем считать Землю идеальным шаром и предположим, что точно по экватору её «опоясали» металлической лентой. Затем эту ленту удлинили на 1 метр и расположили её над экватором так, чтобы расстояние от ленты до поверхности Земли всюду было одинаковым. Вопрос: пролезет ли кошка в образовавшуюся щель?

2) Предположим, что Землю «подвесили» на удлинённой ленте из предыдущей задачи Северным полюсом «кверху». Какой высоты ёлку можно установить на Северном полюсе под этой лентой?

Интересуют ваши размышления над 2 задачей.

[Munin]

Рисуем треугольник от точки касания ленты до вершины ёлки. Получаем $\tg\varphi-\varphi=\ell/2R,$ $1/\!\cos\varphi-1=h/R.$ Любимые Арнольдом разложения в ряд. Подглядывая в справочник, подставляем вторые члены рядов: $\varphi^3/3=\ell/2R,$ $\varphi^2/2=h/R.$ Итого, $h=\sqrt[3]{(3\ell/2)^2R}.$ Считать скучно.

-- 12.02.2013 13:24:18 --

Впрочем, в уме - это кубический корень из радиуса Земли в метрах, то есть из шести миллионов. Больше ста метров.

[TOTAL]

victor1991 в сообщении #682820 писал(а):

2) Предположим, что Землю «подвесили» на удлинённой ленте из предыдущей задачи Северным полюсом «кверху». Какой высоты ёлку можно установить на Северном полюсе под этой лентой?

3) Предположим, что из Земли вылезла тонкая рука, схватила удлинённую ленту и потянула её под землю. На какую глубину рука может утянуть ленту?

[vorvalm]

1) $2\pi{R}=L_1,\;2\pi(R+x)=L_2,\;L_2-L_2=2\pi{x}=\Delta{L},\;x=\Delta{L}/2\pi.$
2)$y=\Delta{L}/\pi.$

[Munin]

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #682828 писал(а):

3) Предположим, что из Земли вылезла тонкая рука, схватила удлинённую ленту и потянула её под землю. На какую глубину рука может утянуть ленту?

[gris]

Munin в сообщении #682823 писал(а):

Впрочем, в уме - это кубический корень из радиуса Земли в метрах

Из-за укрытия спрашиваю: а не из двух радиусов? Впрочем, таких ёлок всё равно не бывает.
Вообще, мне больше нравится ответvorvalm, Ведь никто не говорил, что лента может деформироваться.

[_Ivana]

(Оффтоп)

по первой задаче - когда мы бегали на соревнованиях, любой спортсмен, будь он хоть трижды нулем в математике, знал на сколько удлиннится дистанция, если он обгоняет впереди бегущего в повороте по внешнему радиусу (по второй дорожке) :)

[Munin]

gris в сообщении #682855 писал(а):

Из-за укрытия спрашиваю: а не из двух радиусов?

Если интересоваться коэффициентом порядка единицы, то так: из одного радиуса, в полутораметрической системе единиц, где единица длины - полтора метра. То есть, берём радиус Земли в метрах, делим на полтора, извлекаем корень, умножаем на полтора. Очевидно, $h=\sqrt[3]{(3\ell/2)^2R}=(3\ell/2)\sqrt[3]{R/(3\ell/2)}.$

gris в сообщении #682855 писал(а):

Вообще, мне больше нравится ответ vorvalm, Ведь никто не говорил, что лента может деформироваться.

Ну Арнольд же не дурак был. Если бы хотел сказать, что надо считать недеформируемой, то сказал бы не "лента" (и "подвесить"), а "обруч".

Кроме того, Арнольд вряд ли бы стал задавать две по сути эквивалентные задачи. И любовь к рядам я узна'ю, в той интерпретации, которую я озвучил. Например, "Математический тривиум" Арнольда, задача 2, звучит так:

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin\tg x-\tg\sin x}{\,\,\arcsin\arctg x-\arctg\arcsin x\,\,}$$

Про бесконечно малые разных степеней много говорится в его книге "Теория катастроф", в том числе особенно как раз про полукубическую параболу.

[gris]

Да я как раз чисто по Вашей формуле. $h=\sqrt[3]{(3\ell/2)^2R}$

Ведь по условию $\ell=1$, разве нет? Тогда получаем $h=\sqrt[3]{(3/2)^2R}=\sqrt[3]{2.25R}$

[Munin]

По-моему, ошибка, которую вы допускаете, сравнима с тем уточнением, к которому стремитесь.

[Ktina]

victor1991 в сообщении #682820 писал(а):

1)...Затем эту ленту удлинили на 1 метр...
...пролезет ли кошка?

Старо как мир.
http://www.diofant.ru/problem/451/
http://www.diofant.ru/problem/456/

[gris]

Ну да, конечно. Я просто подумал, что кубический корень из 12 считается (оценивается снизу) легче, чем из 6.
А тигр тоже кошка, между прочим. Это я к слову по 1 пункту.

[Александрович]

Ktina в сообщении #682889 писал(а):

victor1991 в сообщении #682820 писал(а):

1)...Затем эту ленту удлинили на 1 метр...
...пролезет ли кошка?

Старо как мир.
http://www.diofant.ru/problem/451/

А зачем там радиус Земли указан? Без него решается.

[Ktina]

Александрович в сообщении #682896 писал(а):

А зачем там радиус Земли указан? Без него решается.

Автор задачи -- админ "Диофанта".

[Александрович]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #682900 писал(а):

Автор задачи -- админ "Диофанта".

Этой задаче полагаю несколько веков. Сколько же лет админу?