Матричная теория возмущений

[Doctor_Den]

Добрый день!

Необходимо найти собственные значения и собственные векторы матрицы $M$ представимой в виде
$M=M_0+\lambda M_1$ где $\lambda$ малый параметр. Для решения задачи я решил использовать хорошо известную теорию возмущений (в частности Брилюена-Вигнера). Посчитав собственные значения и векторы исходной матрицы $M_0$ оказалось что среди них есть нулевое собственное значение с нулевым собственным вектором ${u_q}$ ему отвечающему. В следствии этого все поправке к полученному собст. нулевому значению оказываются также нулевыми т.к. члены вида $\Bra{u_q}M_1\Ket{u_q}$ дают ноль и поправки получить не удается (к данному собственному значению).

В тоже время численный анализ системы показывает что при $\lambda>0$ все собственные значения матрицы $M$отличны от нуля. Помогите разобраться как применить теорию возмущения для такого случая.

[mihiv]

Тут какая-то ошибка: дело в том, что если матрица $M_0$ имеет нулевое собственное значение, то ее определитель равен 0, а следовательно система уравнений для определения координат собственного вектора, соответствующего этому нулевому собственному значению, имеет и ненулевое решение.

[Doctor_Den]

mihiv в сообщении #678429 писал(а):

Тут какая-то ошибка: дело в том, что если матрица $M_0$ имеет нулевое собственное значение, то ее определитель равен 0, а следовательно система уравнений для определения координат собственного вектора, соответствующего этому нулевому собственному значению, имеет и ненулевое решение.

Действительно, кроме нулевого вектора есть и еще один ненулевой соотв. собств. значению ноль. Однако с поправками к нему проблем не возникает.

[mihiv]

По определению собственный вектор $\ne \vec 0$.

[Doctor_Den]

mihiv в сообщении #678672 писал(а):

По определению собственный вектор $\ne \vec 0$.

Странно, тогда выходит что ошибка у Lapack.
Если все делать руками на бумажке то выходит что двум нулевым собственным значениям соответствует всего один
ненулевой собст. вектор, т.е. собственных векторов на 1 меньше чем размерность матрицы. Так бывает?

[mihiv]

Doctor_Den в сообщении #678696 писал(а):

т.е. собственных векторов на 1 меньше чем размерность матрицы. Так бывает?

Да.

[Евгений Машеров]

Матрица симметричная или общего вида?

[Doctor_Den]

Евгений Машеров в сообщении #678904 писал(а):

Матрица симметричная или общего вида?

Общего вида.

[Утундрий]

Вообще-то, ранее отсутствующий корень не обязан выходить из нуля или отщепляться от какого-то предшественника в результате его разделения на два (биффуркация называется). Часто бывает, что возмущенное решение прилетает из бесконечности.

[Doctor_Den]

Утундрий в сообщении #679057 писал(а):

Вообще-то, ранее отсутствующий корень не обязан выходить из нуля или отщепляться от какого-то предшественника в результате его разделения на два (биффуркация называется). Часто бывает, что возмущенное решение прилетает из бесконечности.

Видимо у меня именно этот случай. Невозмущенная матрица имеет три собственных вектора а возмущенная четыре. И это создает некоторые проблемы для использования теории возмущений.

[g______d]

Doctor_Den в сообщении #679079 писал(а):

Видимо у меня именно этот случай. Невозмущенная матрица имеет три собственных вектора а возмущенная четыре. И это создает некоторые проблемы для использования теории возмущений.

Это скорее ситуация общего положения. Если невозмущенная матрица жорданова, то у возмущенной почти наверняка есть собственный базис.

[Doctor_Den]

g______d в сообщении #679087 писал(а):

Это скорее ситуация общего положения. Если невозмущенная матрица жорданова, то у возмущенной почти наверняка есть собственный базис.

Подскажите пожалуйста как в этом случае применить теорию возмущений чтоб получить поправки к с.ч., хотя-бы линейные по $\lambda$? У невозмущенной матрицы есть 4 с.ч., два из них ноль, и три с.в. им соответствующие. У возмущенной согласно численному анализу есть 4 ненулевых с.ч. и 4 с.в. Т.е. поправки к трем с.ч. я получить могу (кажется), но откуда взять четвертое с.ч. я не понимаю.

[g______d]

Doctor_Den в сообщении #679092 писал(а):

Подскажите пожалуйста как в этом случае применить теорию возмущений чтоб получить поправки к с.ч., хотя-бы линейные по $\lambda$? У невозмущенной матрицы есть 4 с.ч., два из них ноль, и три с.в. им соответствующие. У возмущенной согласно численному анализу есть 4 ненулевых с.ч. и 4 с.в. Т.е. поправки к трем с.ч. я получить могу (кажется), но откуда взять четвертое с.ч. я не понимаю.

Для начала глупый вопрос: если нужны именно с. з., то что мешает просто рассматривать их как корни полиномиального уравнения? У него коэффициенты будут зависеть от параметра возмущения. При $\lambda=0$ будет кратный корень, а при $\lambda\neq 0$ он расщепится на 2. Вот с собственным вектором сложнее.

-- 02.02.2013, 04:50 --

А Вы читали Като, "Теория возмущений линейных операторов"? Первые 2 параграфа Главы 2 могут Вам помочь.

[Doctor_Den]

g______d в сообщении #679093 писал(а):

Для начала глупый вопрос: если нужны именно с. з., то что мешает просто рассматривать их как корни полиномиального уравнения? У него коэффициенты будут зависеть от параметра возмущения. При $\lambda=0$ будет кратный корень, а при $\lambda\neq 0$ он расщепится на 2. Вот с собственным вектором сложнее.

-- 02.02.2013, 04:50 --

А Вы читали Като, "Теория возмущений линейных операторов"? Первые 2 параграфа Главы 2 могут Вам помочь.

Като почитаю, спасибо. С.з. искать через решение полиномиального уравнения можно, но поскольку уравнение выходит 4 степени корни его в аналитическом виде весьма громоздки. Мне же необходима аналитика для с.з. при малом, но отличном от нуля $\lambda$ имея аналитические выражение для с.з при $\lambda=0$.

[ex-math]

Так разложите точные с.з. в ряд в окрестности $\lambda=0$.