порядок фундаментальной группы

[kernel85]

здравствуйте, подскажите пожалуйста, если некоторая фундаментальная группа задана копредставлением из abcd образующих и одного соотношения : $a^2b^2c^2d^2$ в книге написано если ее прокоммутировать то получится прямое произведение свободной абелевой группы с тремя образующими и одной конечной порядка 2. Обясните откуда берется группа ранга три? На сколько я понимаю должна получаться конечная группа порядка 16. Спасибо.

[Joker_vD]

16 элементов? И каким же по счету является $abcdabcdabcdabcdabcd$?

[kernel85]

так как полученная группа абелева то это 1. Так?

[apriv]

kernel85 в сообщении #677813 писал(а):

Обясните откуда берется группа ранга три? На сколько я понимаю должна получаться конечная группа порядка 16. Спасибо.

Давайте посмотрим на элементы $a^0, a^1, a^2, a^3,\dots$. Какие из них совпадают, как Вы думаете?

[kernel85]

все четные степени равны 1, остальные элементы равны друг другу.

[apriv]

kernel85 в сообщении #677870 писал(а):

все четные степени равны 1, остальные элементы равны друг другу.

Поясните, почему же $a^2=1$? Как это следует из единственного соотношения $a^2b^2c^2d^2=1$?

[kernel85]

я понял, данное соотношение остается в силе и после коммутирования. Я не могу понять как составить целочисленную матрицу из этого соотношения и потом понятно как найти коэффициент кручения.

[kernel85]

все равно не понятно как получается группа ранга три. Дайте пожалуйста подсказку или ссылку на литературу где это объяснено доступно. Спасибо , извините за назойливость.

[apriv]

kernel85 в сообщении #677947 писал(а):

все равно не понятно как получается группа ранга три. Дайте пожалуйста подсказку или ссылку на литературу где это объяснено доступно. Спасибо , извините за назойливость.

Ну вот же Вам: $a,b,c$ — три буквы, потому и ранг три, а от лишних степеней $d$ можно избавиться в силу соотношения.

[JMH]

"Фундаментальная группа" у меня ассоциируется только с топологией; это у Вас нетрадиционная терминология или я чего-то не понимаю?

[kernel85]

согласен, конкретика тут была лишней в моем случае коммутируется свободная из 4 обр. и одного соотношения, результатом является группа равная прямому произведению св. абелевой группы 3 ранга и конечной абелевой порядка 2. Мне интересна хронология вычисления именно в алгебраическом смысле, а не в геометрическом. Вот.