2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 В каких точках неравенство меняет знак?
Сообщение29.01.2013, 18:28 
Аватара пользователя
$\dfrac{(|2x+1|-x-2)(\log_{\frac13}(x+4)+1)}{2^{x^2}-2^{|x|}}\geqslant 0$

Понятно, что в $x=0$, $x=\pm 1$ вполне может поменяться знак из-за знаменателя. А вот в $x=-0,5$? (влияет ли модуль на смену знака).

Ясно, что скобка $\log_{\frac13}(x+4)+1$ меняет знак при $x=-1$.

Есть ли еще точки, вносят ли еще какие-либо особенности модули и логарифмы в метод интервалов? Как лучше замечать -- каким образом тут меняется знаки? Например вот смену знака вот этой штуки $|2x+1|-x-2$ можно лишь определить, раскрывая модуль по определению?

 
 
 
 Re: В каких точках неравенство меняет знак?
Сообщение29.01.2013, 18:48 
Аватара пользователя
freedom_of_heart в сообщении #677653 писал(а):
Например вот смену знака вот этой штуки $|2x+1|-x-2$ можно лишь определить, раскрывая модуль по определению?

Что такое "определить смену знака"?

 
 
 
 Re: В каких точках неравенство меняет знак?
Сообщение29.01.2013, 19:09 
Аватара пользователя
TOTAL в сообщении #677662 писал(а):
freedom_of_heart в сообщении #677653 писал(а):
Например вот смену знака вот этой штуки $|2x+1|-x-2$ можно лишь определить, раскрывая модуль по определению?

Что такое "определить смену знака"?


Под "определением смены знака" выражения $F(x)$ я имею ввиду те значения $x$, при переходе через которые знак неравенства$F(x)>0$ меняется на $F(x)<0$ и наоборот.

 
 
 
 Re: В каких точках неравенство меняет знак?
Сообщение29.01.2013, 19:15 
Аватара пользователя
freedom_of_heart в сообщении #677673 писал(а):
Под "определением смены знака" выражения $F(x)$ я имею ввиду те значения $x$, при переходе через которые знак неравенства$F(x)>0$ меняется на $F(x)<0$ и наоборот.
Тогда найдите все $x,$ удовлетворяющие уравнению $F(x)=8.7$

 
 
 
 Re: В каких точках неравенство меняет знак?
Сообщение29.01.2013, 19:25 
Аватара пользователя
TOTAL в сообщении #677679 писал(а):
Тогда найдите все $x,$ удовлетворяющие уравнению $F(x)=8.7$


А зачем?)) Ладно переформулирую вопрос -- как рационально решить неравенство? С чего начать?

$\dfrac{(|2x+1|-x-2)(\log_{\frac13}(x+4)+1)}{2^{x^2}-2^{|x|}}\geqslant 0$

 
 
 
 Re: В каких точках неравенство меняет знак?
Сообщение29.01.2013, 19:29 
Аватара пользователя
freedom_of_heart в сообщении #677684 писал(а):
Ладно переформулирую вопрос -- как рационально решить неравенство? С чего начать?

$\dfrac{(|2x+1|-x-2)(\log_{\frac13}(x+4)+1)}{2^{x^2}-2^{|x|}}\geqslant 0$

Найдите область определения каждого сомножителя. Найдите иксы, при которых каждый из сомножителей обращается в ноль.

 
 
 
 Re: В каких точках неравенство меняет знак?
Сообщение29.01.2013, 19:56 
Аватара пользователя
TOTAL в сообщении #677689 писал(а):
freedom_of_heart в сообщении #677684 писал(а):
Ладно переформулирую вопрос -- как рационально решить неравенство? С чего начать?

$\dfrac{(|2x+1|-x-2)(\log_{\frac13}(x+4)+1)}{2^{x^2}-2^{|x|}}\geqslant 0$

Найдите область определения каждого сомножителя. Найдите иксы, при которых каждый из сомножителей обращается в ноль.


Спасибо.

1) $2^{x^2}-2^{|x|}=0$

$x=0,\;\;\;\;\;\;\;x=\pm 1$

2) $\log_{\frac13}(x+4)+1=0$

$\log_{\frac13}(x+4)=\log_{\frac13}3$

$x=-1$

3) $|2x+1|-x-2=0$

a) $x\leqslant -0,5$ Думаю, здесь опечатка, и имелось в виду $\color{blue}x\geqslant -0,5$ //AKM

$2x+1-x-2=0$

$x=1$

b) $x<-0,5$

$-2x-1-x-2=0$

$3x=-3\;\;\;\;\;x=-1$

 
 
 
 Re: В каких точках неравенство меняет знак?
Сообщение29.01.2013, 20:08 
Аватара пользователя
Теперь проведите горизонтальную линию, отметьте на ней нули и область определения первого "сомножителя", укажите знаки "сомножителя" на каждом промежутке между нулями.
(Внимание, знаки не обязательно чередуются!)

Чуть ниже проделайте то же самое для остальных "сомножителей".

Дальше сами.

 
 
 
 Re: В каких точках неравенство меняет знак?
Сообщение29.01.2013, 21:24 
Аватара пользователя
TOTAL в сообщении #677713 писал(а):
Теперь проведите горизонтальную линию, отметьте на ней нули и область определения первого "сомножителя", укажите знаки "сомножителя" на каждом промежутке между нулями.
(Внимание, знаки не обязательно чередуются!)

Чуть ниже проделайте то же самое для остальных "сомножителей".

Дальше сами.



Вот, мне как раз и интересно про чередование знаков -- почему они не обязательно чередуются? А $-0,5$ отмечать на оси?

 
 
 
 Re: В каких точках неравенство меняет знак?
Сообщение29.01.2013, 21:32 
Аватара пользователя
freedom_of_heart в сообщении #677748 писал(а):
Вот, мне как раз и интересно про чередование знаков -- почему они не обязательно чередуются? А $-0,5$ отмечать на оси?
Вы на оси собираетесь отмечать точки по чьему-то указанию? Какое отношение это $-0.5$ имеет к знаку функции?

Знаки не обязательно чередуются, потому что они не обязательно чередуются. Например $f(x)=x^2$ обращается в ноль, но знак не меняет.

 
 
 
 Re: В каких точках неравенство меняет знак?
Сообщение30.01.2013, 01:28 
Аватара пользователя
Спасибо, вот это и хотелось узнать!

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group