Сколько ладей на шахматной доске?

[Ktina]

Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматную доску так, чтобы каждая била нечётное число других?

[gris]

Интересно, сколько вообще ладей с таким условием можно поставить?
Одну нельзя. Две можно. Три нельзя. Четыре можно. Пять и вообще нечётное число? Надо подумать.

[Psw]

gris в сообщении #677511 писал(а):

Интересно, сколько вообще ладей с таким условием можно поставить?
Одну нельзя. Две можно. Три нельзя. Четыре можно. Пять и вообще нечётное число? Надо подумать.

Нечётное, разумеется, нельзя.
Тогда суммарное количество всех "боёв" будет нечётным, а оно таким не может быть.

А по задаче - ладья через ладью бьёт?

[Ktina]

Psw в сообщении #677517 писал(а):

А по задаче - ладья через ладью бьёт?

Нет, конечно.

-- 29.01.2013, 11:26 --

Иначе было бы легко.

[Psw]

Ну вроде как 24 получается?

[Ktina]

Psw в сообщении #677522 писал(а):

Ну вроде как 24 получается?

У меня, вроде, тоже:

a1, b8, c1-8, d7, d8, e7, e8, f1-8, g8, h1

[Psw]

Ktina в сообщении #677523 писал(а):

Psw в сообщении #677522 писал(а):

Ну вроде как 24 получается?

У меня, вроде, тоже:

a1, b8, c1-8, d7, d8, e7, e8, f1-8, g8, h1

В общем также, только я оладьями линии c и d заполнял :)

P.S. А нет, не совсем так.
У меня a1, b8, c и d - полностью, e1, f1, e8, f8, g1 и h8

[Ktina]

Psw в сообщении #677524 писал(а):

В общем также, только я оладьями линии c и d заполнял :)

P.S. А нет, не совсем так.
У меня a1, b8, c и d - полностью, e1, f1, e8, f8, g1 и h8

Осталось доказать, что 24 это максимум.

[hippie]

Ktina в сообщении #677525 писал(а):

Осталось доказать, что 24 это максимум.

Действительно, 24 это максимум.

Пусть расставлено $k=n+m$ ладей (где $n$ количество ладей атакующих одну, а $m$ — атакующих три), и при этом занято $p$ вертикалей и $q$ горизонталей.
Тогда количество пар ладей атакующих друг друга равно $2k-p-q.$ В то же время оно равно $\frac{3m+n}2.$ Т.е. $4k-2(p+q)=3m+n.$ Следовательно $k=2(p+q)-2n\le 32-2n.$
Заметим теперь, что при $n<4$ общее количество ладей не больше 4 (проверяется перебором).

[Ktina]

hippie, гениально!