Разбиение на два непустых подмножества

[Ktina]

Дано множество $S$, элементами которого являются $n$ попарно различных положительных вещественных чисел.
Известно, что $S$ можно разбить на два непустых непересекающихся подмножества с одинаковой суммой. И сделать это можно более, чем одним способом.

Найти наименьшее возможное значение $n$.

[gris]

шесть подходит. А вот пять можно ли?

[Ktina]

gris в сообщении #675383 писал(а):

шесть подходит. А вот пять можно ли?

Шесть подходит:
$\{1, 2, 3, 4, 5, 7\}$
Разбивается как минимум двумя способами: 4+7=1+2+3+5 и 1+3+7=2+4+5
Пять нельзя.

-- 23.01.2013, 14:24 --

Меньше пяти -- тоже.

-- 23.01.2013, 14:28 --

Есть очень красивое доказательство для пяти.

[gris]

Можно рассмотреть максимальный элемент и кучу случаев.

[Ktina]

gris в сообщении #675396 писал(а):

Можно рассмотреть максимальный элемент и кучу случаев.

Можно, но это будет долго и нудно.

Если пять чисел разбиваются (без ограничения общности) A=B+C+D+E, тогда очевидно, что это разбиение единственно.

Пусть пять чисел разбиваются так: A+B=C+D+E
И пусть это разбиение не единственно.
Если в другом разбиении A и B находятся в одном подмножестве, то это разбиение совпадает с первым.
Если в разных, то имеем два (без огданичения общности) варианта:

1. $A=C+D+E\to B=0$
Но по условию все числа положительны!

2. $A=C$
Но по условию все числа попарно различны!

[gris]

Супер!

[Ktina]

gris в сообщении #675410 писал(а):

Супер!

А я точно права?

[gris]

А я не говорил этого. Ну и не права, всё равно — я в восхищении!!!

[Ktina]

gris в сообщении #675415 писал(а):

А я не говорил этого. Я сам решал не так.

А можно узнать, как?

[gris]

Я считал $A$ максимальным числом и рассмотрел ровно те же случаи.

[Ktina]

gris в сообщении #675419 писал(а):

Я считал $A$ максимальным числом и рассмотрел ровно те же случаи.

Сейчас попытаюсь официальное решение найти.