Волновая природа микромира

[Lvov]

Цитата:

g______d:
"Операторный ряд Маклорена" --- это очень плохой объект. См. ниже.
Кстати говоря, как Вы уравнения Эйлера получили?
Под "локальностью" я понимаю следующее: чтобы знать плотность лагранжиана в данной точке, достаточно знать функцию в сколь угодно малой окрестности этой точки. Это довольно разумное физическое требование. Ему удовлетворяют все существующие лагранжианы. Если мне не изменяет память, операторы типа $\hat O$ такому свойству не удовлетворяют (несмотря на то, что формально достаточно знать все производные в данной точке, этот "ряд Маклорена" не будет сходиться вообще ни к чему осмысленному).
В любом случае, лагранжиан, зависящий от бесконечного числа производных --- это объект, для введения которого нужны очень серьезные основания.

Господин g______d, благодарю за серьезную критику моей статьи.
Начну с того, что я оговорился в сообщении, назвав предложенный операторный ряд рядом Маклорена. Его следует определить, как ряд на основе произведений операторов лапласа, число которых в каждом члене отвечает его номеру n (n=0, 1, 2, 3,...), с коэффициентами разложения в степенной ряд радикала $\sqrt{1-x}$.
Далее перепутан знак перед оператором лапласа под радикалом. Исходя из уравнения (1а), надо записать

$$\left(i\frac {\partial}{\partial x_0}\pm\sqrt{m^2-\frac{\partial^2}{\partial x^2_\nu}}\right)\,\psi\,=0\,\,.(2)$$

Соответственно для ряда, отвечающего радикалу получается выражение ряд

$$\hat{O}\,=\,m\,-\,\frac {1}{2m} \frac {\partial^2}{\partial x^2_\nu}\,-\,\frac {1}{8m^3}\frac{\partial^2}{\partial x^2_\nu}\frac {\partial^2}{\partial x^2_\mu}\,+\,\cdots\,.$$

При разложении в ряд возникает упущенная мною проблема сходимости при его использовании. Можно понять, что сходимость результата, получаемого на основе операторного ряда к выражению

$$\sqrt{m^2-\frac{\partial^2}{\partial x^2_\nu}},$$

имеет место лишь при $p<m,$ то есть при относительно малой скорости электрона. При всем этом я остаюсь убежденным, что знак частоты осцилляции решения уравнения Клейна-Гордона (1) определяет, знак заряда частицы. При этом произвольное решение данного уравнения можно разделить на две части по знаку частоты путем его математического анализа.

Для доказательства справедливости уравнений (2) достаточно указанного в статье 9 анализа с использованием спектральных составляющих решения уравнения (1а), которые удовлетворяют либо решению уравнению (2+) для основной частицы, либо решению подобного уравнения (2-) для античастицы. То же справедливо и для линейных комбинаций множества спектральных составляющих с единым знаком частоты осцилляции.
Полезно также принять во внимание равенство оператора исходного уравнения (1а) и произведение операторов уравнений (2). Речь идет о соотношении

$$\left(i\frac {\partial}{\partial x_0}+\sqrt{m^2-\frac{\partial^2}{\partial x^2_\nu}}\right)\,\left(i\frac{\partial}{\partial x_0}-\sqrt{m^2-\frac{\partial^2}{\partial x^2_\nu}}\right)\,\psi\,=$$

$$=\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2_k}\,-\frac{\partial^2}{\partial x^2_0}\,-\,m^2\right)\psi\,=0.$$

Справедливость этого соотношения можно проверить, перемножая внутрискобочные операторы и переходя от произведения операторных радикалов к произведению операторных рядов. При этом часть членов компенсируется, в частности, все члены произведения рядов, за исключением двух первых, в результате чего получается необходимый оператор уравнения Клейна-Гордона. Операторы уравнений (2) можно было бы поставить в обратном порядке, от этого результат не изменился бы.
Рассматриваемые уравнения (2) можно с некоторыми трудностями получить из предложенного лагранжиана с подкорректированными радикалами. Но лучше с лагранжианами данных уравнений не связываться вообще. При этом надо учесть, что для решений уравнений (2), являющихся. одновременно решениями уравнений (1, 1а), справедливы выражения для векторов и тензоров динамических переменных уравнения (1). Это замечание справедливо, в частности, для вектора плотности электрического тока и тензора энергии импульса, формулы которых приведены в статье 9. Из указанных выражений делается вывод о смене знака плотности заряда частицы и постоянстве положительного знака плотности энергии при смене знака частоты осцилляции функции.

Что же касается вопроса о локальности или нелокальности предложенных операторов, то я не усмотрел убедительности в Ваших доводах. Все частные производные рассматриваются для одной и той же пространственной точки и единого момента времени. Ряд радикала сходится при достаточно малых значениях лапласиана, а именно, когда кинетическая энергия частицы не превышает ее энергию покоя.

С уважением О.Львов

[Someone]

Lvov в сообщении #674061 писал(а):

то же касается вопроса о локальности или нелокальности предложенных операторов, то я не усмотрел убедительности в Ваших доводах. Все частные производные рассматриваются для одной и той же пространственной точки и единого момента времени. Ряд радикала сходится при достаточно малых значениях лапласиана, а именно, когда кинетическая энергия частицы не превышает ее энергию покоя.

Ну, это вещь известная. Зачем Вам какие-то доводы?
Возьмём оператор дифференцирования $p=\frac d{dx}$ и рассмотрим оператор

$$e^{ap}=1+\frac a{1!}p+\frac{a^2}{2!}p^2+\frac{a^3}{3!}p^3+\ldots,$$

где $a$ - некоторое число. Если соответствующий ряд сходится, то $e^{ap}f(x)=f(x+a)$. Как видите, хотя все производные рассматриваются в одной и той же точке, но получившийся оператор совсем не дифференциальный и не локальный.
К этому оператору вполне приложимы Ваши доводы, поэтому это от Вас нужно ожидать более убедительных доводов, а не от g______d.

[vladimir21140]

Разрешите задать вопрос. Каким образом определяется частота фотона? Фемтасекундный лазерный импульс света содержит согласно Фурье анализу целый спектр частот, а фотон должен иметь одну частоту. Парадокс!?

-- 21.01.2013, 15:12 --

Вопрос. Если фотон, обладающий нулевой массой покоя, всегда движется со скоростью света, то каким образом можно изменить его энергию. Можно ли например искусственным способом увеличить его энергию. Или же фотоны с разной энергией получаются только в результате излучения или при ядерных реакциях.

[zask]

vladimir21140 в сообщении #674488 писал(а):

Вопрос. Если фотон, обладающий нулевой массой покоя, всегда движется со скоростью света, то каким образом можно изменить его энергию. Можно ли например искусственным способом увеличить его энергию. Или же фотоны с разной энергией получаются только в результате излучения или при ядерных реакциях.

Упругое рассеяние на электроне, например. (Комптоновское рассеяние.) Правда, энергия при этом всегда уменьшается.

[Someone]

zask в сообщении #674497 писал(а):

Правда, энергия при этом всегда уменьшается.

Не всегда. Есть и обратный эффект Комптона.

[zask]

Да, уже вспомнил. Обратный эффект для релятивистских электронов.

[Munin]

vladimir21140 в сообщении #674488 писал(а):

Каким образом определяется частота фотона?

Экспериментально - по энергии. Теоретически дефинируется через преобразование Фурье от волновой функции фотона.

vladimir21140 в сообщении #674488 писал(а):

Фемтасекундный лазерный импульс света содержит согласно Фурье анализу целый спектр частот, а фотон должен иметь одну частоту. Парадокс!?

Фотон не должен иметь одну частоту. Фотон может быть размазан по частоте, как и любая квантовая частица.

vladimir21140 в сообщении #674488 писал(а):

Вопрос. Если фотон, обладающий нулевой массой покоя, всегда движется со скоростью света, то каким образом можно изменить его энергию.

Например, калориметром. Поглотить фотон, и измерить выделившуюся энергию.

vladimir21140 в сообщении #674488 писал(а):

Можно ли например искусственным способом увеличить его энергию.

Вообще нет. Но проблема тут не в скорости света, а в том, что фотон ни с чем не взаимодействует, а только излучается или поглощается.

Обратный эффект Комптона, строго говоря, даёт в результате другой фотон...

vladimir21140 в сообщении #674488 писал(а):

Или же фотоны с разной энергией получаются только в результате излучения или при ядерных реакциях.

Да. Ядерные реакции - частный случай излучения.

[Xey]

vladimir21140 в сообщении #674488 писал(а):

Каким образом определяется частота фотона? Фемтасекундный лазерный импульс света содержит согласно Фурье анализу целый спектр частот, а фотон должен иметь одну частоту. Парадокс!?

Вопрос. Если фотон, обладающий нулевой массой покоя, всегда движется со скоростью света, то каким образом можно изменить его энергию. Можно ли например искусственным способом увеличить его энергию

Фемтасекундный лазерный импульс света содержит целый спектр частот, его можно разложить призмой как и солнечный свет, только у лазера разноцветные составляющие когерентны .

На основе стандарта частоты в радиодиапазоне и такого лазера, делают так называемый комбгенератор, которым можно измерить частоту лазера оптического диапазона методом биений.

Частота фотона меняется при движении в гравитационном поле , если вверх от Земли, то уменьшается немного, если от черной дыры, то заметно. (в обратную сторону частота растет)

Частота фотона меняется и из-за эффекта Доплера. В газовых лампах это немного уширяет спектральные линии. В космосе дает приличное "красное смещение".

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #673560 писал(а):

Сергей, Вы опять имеете ввиду новый дополнительный член $\bar\psi \sigma^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \psi$.в моем лагранжиане спинорного уравнения Клейна-Гордона взаимодействующего электронно-позитронного поля.

Тут дело куда более серьёзное чем какой-то там дополнительный член. Вы вместо уравнения Дирака берёте уравнение Клейна-Гордона. Тем самым вместо электродинамики Максвелла-Дирака вы берёте совершенно другую теорию. При этом вы без доказательств заявляете, что эта другая теория описывает именно электроны. Да с какой стати? Если электроны (по-вашему) можно описать уравнением Клейна-Гордона, то для чего же тогда Дираку понадобилось изобретать уравнение Дирака?

Меня учили, что электронны должны описываться уравнением первого порядка по времени. Есть, например, эксперимент Штерна-Герлаха по расщеплению энергии атомов в магнитном поле. При помещении люминисцирующего газа между полюсами магнита зеемановское расщепление наступает сразу же после включения магнитного поля без каких-либо колебаний и релаксаций. Если бы электроны описывались уравнением второго порядка по времени, то была бы "инерция" - колебания и релаксация.

Либо перестаньте заявлять, что ваша теория имеет отношение к электронам, либо докажите это.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #674584 писал(а):

Если электроны (по-вашему) можно описать уравнением Клейна-Гордона, то для чего же тогда Дираку понадобилось изобретать уравнение Дирака?

Вообще известно для чего, и электроны можно описать уравнением Клейна-Гордона. Просто возведя уравнение оператор Дирака в квадрат.

SergeyGubanov в сообщении #674584 писал(а):

Если бы электроны описывались уравнением второго порядка по времени, то была бы "инерция" - колебания и релаксация.

Это странное заявление как-то можно доказать? Суть тут не в порядке во времени, а в разнице между квантами и классикой.

[Lvov]

Цитата:

espe:
Имеется ввиду обычная перенормировка. В частности заряда и массы. О перенормируемости я уже писал

О значимости новых формул момента и оператора спина я также уже писал. И здесь же я привел цитаты из монографий по КЭД, где авторы не слишком восторженно отзываются о предмете своего творчества и довольно скептически о методе перенормировок.

Цитата:

Someone:
Возьмём оператор дифференцирования $p=\frac d{dx}$ и рассмотрим оператор $e^{ap}$...,где $a$ - некоторое число. Если соответствующий ряд сходится, то $e^{ap}f(x)=f(x+a)$. ...получившийся оператор совсем не дифференциальный и не локальный.
К этому оператору вполне приложимы Ваши доводы, поэтому это от Вас нужно ожидать более убедительных доводов, а не от g______d.

Г.Someone, я не разобрался, на каком основании Вы в теореме запаздывания подменили аргумент преобразования Лапласа оператором производной, и почему оператор $f(x+a)$ - нелокальный.

Но это не имеет большого значения. Дело в том, что я доказываю, что спектральные составляющие (и их линейные комбинации) решения для свободного электрона с постоянным знаком частоты осцилляции удовлетворяют одному из двух предлагаемых уравнений первого порядка по времени при записи оператора-радикала в виде указанного бесконечного ряда (при $p<m$). Кроме того я утверждаю, что сохранив два первых члена ряда радикала, мы приходим к уравнению Шрёдингера. Третий же оператор рассматриваемого ряда можно видеть в некоторых формулах для гамильтониана электрона (см. КЭД Ландау-Лифшица, т.IV, 1980, форм. (33.12)), где его называют релятивистской поправкой.

С уважением О.Львов

[g______d]

Lvov в сообщении #674693 писал(а):

Г.Someone, я не разобрался, на каком основании Вы в теореме запаздывания подменили аргумент преобразования Лапласа оператором производной,

Никто ничего не подменял. Равенство верное (с оговорками про области определения операторов).

Lvov в сообщении #674693 писал(а):

и почему оператор $f(x+a)$ - нелокальный.

По определению. Если $(Ff)(x)=f(x+a)$, то значение $(Ff)(0)=f(a)$. Т. е. значение результата применения оператора в нуле зависит от значения $f$ в точке $a$ и не выражается через конечное число производных $f$ в нуле. Кроме того, легко придумать бесконечно гладкую функцию, такую что $f(x)=0$ в окрестности нуля, а $(Ff)(0)\neq 0$.

Еще раз. Вы заменяете уравнение Дирака на уравнение, которое

1. Не является дифференциальным уравнением конечного порядка.

2. Не получается из лагранжиана. А если и получается, то из нелокального и содержащего бесконечное число производных. Если я неправ, то мне бы очень хотелось взглянуть на вывод.

3. Очень сомневаюсь, что оператор $i\frac{\partial}{\partial x_0}\pm\sqrt{m^2-\Delta}$ лоренц-инвариантен. Хотелось бы доказательство.

[Someone]

Lvov в сообщении #674693 писал(а):

на каком основании Вы в теореме запаздывания подменили аргумент преобразования Лапласа оператором производной

Вы что?! Какое преобразование Лапласа, какая теорема запаздывания??? Где Вы увидели преобразование Лапласа?

Вообще, я не понял, чем показательная функция хуже квадратного корня, что в квадратный корень можно подставлять оператор дифференцирования и разлагать в ряд, а в показательную функцию - нельзя? Ряд для показательной функции сходится лучше.

Почему получается нелокальный оператор, Вам уже объяснили.

[Lvov]

Цитата:

SergeyGubanov:
Не в сети Вы вместо уравнения Дирака берёте уравнение Клейна-Гордона. Тем самым вместо электродинамики Максвелла-Дирака вы берёте совершенно другую теорию. При этом вы без доказательств заявляете, что эта другая теория описывает именно электроны. Да с какой стати? Если электроны (по-вашему) можно описать уравнением Клейна-Гордона, то для чего же тогда Дираку понадобилось изобретать уравнение Дирака?

Сергей, ну Вы и выдаете!? Откуда Вы взяли, что я предлагаю описывать электроны уравнением Клейна-Гордона (УКГ)? Если я и анализирую это уравнение со спинорным аргументом, то как универсальное уравнение, включающее решения электронного и позитронного уравнения Дирака. А еще предлагаю использовать модифицированный вариант этого уравнения первого порядка по времени с комплексным скалярным аргументом для грубого описания электрона без учета спиновых явлений. Посмотрите мои статьи 2 и 10. Вторая из них ("Об одном варианте симметричного описания электронов и позитронов") посвящена исключительно вопросу использования разных дираковских уравнений для описания электрона и позитрона. Кратко проблему использования уравнений для описания электронов и позитронов я изложил в своем давнем сообщении. Но его заключительная часть, посвященная использованию разных уравнений Дирака для описания электронов и позитронов прошла незамеченной

И еще мне непонятно, почему Вы считаете, что использование УКГ приводит к инерции и прочим неприятностям, а уравнение Дирака не приводит. Насколько я понимаю, в смысле названных Вами неприятностей оба уравнения равноправны.

С уважением О.Львов

[Lvov]

Цитата:

g______d:
Никто ничего не подменял. Равенство верное (с оговорками про области определения операторов).

Someone:
Вы что?! Какое преобразование Лапласа, какая теорема запаздывания??? Где Вы увидели преобразование Лапласа?
Почему получается нелокальный оператор, Вам уже объяснили.

Уважаемые господа, давайте оставим Ваш оператор в покое, и вернемся к рассмотрению моего оператора-радикала. В своих сообщениях, в частности в сообщении 674693 (последний абзац) я кратко объяснил, почему мои уравнения и радикал-оператор, представляемый в виде указанного ряда являются корректными. Если Вы что-то не поняли, задавайте вопросы. Я растолкую подробнее.

Цитата:

g______d:
Вы заменяете уравнение Дирака на уравнение, которое
1. Не является дифференциальным уравнением конечного порядка.
2. Не получается из лагранжиана. А если и получается, то из нелокального и содержащего бесконечное число производных. Если я неправ, то мне бы очень хотелось взглянуть на вывод.
3. Очень сомневаюсь, что оператор $i\frac{\partial}{\partial x_0}\pm\sqrt{m^2-\Delta}$ лоренц-инвариантен. Хотелось бы доказательство.

1) Не вижу в этом ничего страшного. При вычислениях можно ограничиться конечным числом членов ряда, зависящим от требуемой точности.

2) Мой лагранжиан Вам известен. Воспользуйтесь формулой Эйлера. Частные производные порядка выше первого не трогайте, в формуле Эйлера они не фигурируют.

3) Лоренц-инвариантность предлагаемого уравнения проще всего доказать следующим образом:
Замечаем, каким образом рассматриваемые уравнения получаются на основе базового уравнения Клейна-Гордона (УКГ). Переходим в новую ИСО, при этом УКГ сохраняется. На основе сохранившегося УКГ снова получаем уравнение первого порядка, которое сохраняет прежний вид.
Другой вариант простого доказательства лоренц-инвариантности.
Принимаем во внимание спектральное решения исходного уравнения $\pdi=a \exp(i\omega t -i\vec k \vec x)$, где имеет место релятивистское соотношение, например $\omega=-\sqrt{\omega_0^2+k^2}$. Предполагаем, что наше уравнение лоренц-инвариантно, т.е. сохраняет прежний вид в новой ИСО. Тогда спектральные составляющие его решения и уравнение из связи также имеют прежний вид. Но переменная $\omega$ и вектор $\vec k$ изменились при переходе в новую ИСО, а релятивистское соотношение между ними сохранилось. Значит наше предположение о прежнем виде исследуемого уравнения верно.

С уважением О.Львов