Красивое неравенство

[Ktina]

Доказать неравенство

$$\sin 1<\log_3\sqrt 7<\sin 2$$

[Cash]

И такое можно решить без разложения в ряд Тейлора?

[Ktina]

Cash в сообщении #673170 писал(а):

И такое можно решить без разложения в ряд Тейлора?

Первую часть точно можно, она вообще на уровне пятого класса.

[gris]

Первое неравенство просто, там можно известный синус вставить между первым и вторым выражением. А дальше $48<49$
Возможно и ко второму можно подобрать уголок?
Подобрал таки. Типа, 65.
По-моему, составить такое красиво (при этом решабельное) неравенство не проще, чем его решить Хотя, возможно, у ТС более изящный способ решения, чем кропотливый подбор и возня с радикалами.

[Ktina]

gris в сообщении #673177 писал(а):

Хотя, возможно, у ТС более изящный способ решения, чем кропотливый подбор и возня с радикалами.

Ну существуют же всякие тригонометрические тождества, фомулы там какой-нибудь суммы, разности или какого-нибудь двойного, тройного одеколона или половинного...пока подсказывать не буду.

[gris]

Мне единственное, что пришло в голову, это $54+9=63$. Подходит всё от $63$ до $65$ градусов и, в принципе, можно любое число получить, но как получить не слишком громоздкое?
А ведь потом с логарифмом сравнивать... И ещё: я пользовался калькулятором Правда, лишь для оценки выражений, а не для доказательства. Без него как догадаться, что надо искать?
Или я не туда залез?
Я про второе неравенство, конечно.

[Ktina]

gris в сообщении #673211 писал(а):

Или я не туда залез?

Не туда. Вернее, туда, но не с той стороны

[gris]

Вот моё решение первого неравенства:

$48<49 \Rightarrow \; 3<\dfrac {49}{16}\Rightarrow \; \sqrt3<\dfrac {7}{4}\Rightarrow \; \dfrac {\sqrt 3}{2}<\dfrac18 \cdot 7=\dfrac18 \cdot\log_3 3^7=\dfrac18 \cdot \log_3 2187<$

$ <\dfrac18 \cdot \log_3 2401=\dfrac18 \cdot\log_3 7^4=\log_3 \sqrt 7 \Rightarrow \; \dfrac {\sqrt 3}{2}<\log_3 \sqrt 7\Rightarrow \;$

$\Rightarrow \; \sin 1<\sin \dfrac{\pi}3=\dfrac {\sqrt 3}{2}<\log_3 \sqrt 7\Rightarrow \; \sin 1<\log_3 \sqrt 7$

Бешеной собаке семь вёрст не крюк Но мне что-то ничего не показалось более простого

Ко второму. Не с той стороны в смысле что можно искать углы, $114.6^{\circ}<\alpha<180^{\circ}-\arcsin \log_3\sqrt 7=117.6^{\circ}$
А разница?

[Ktina]

gris в сообщении #673230 писал(а):

Вот моё решение первого неравенства:
//////
Бешеной собаке семь вёрст не крюк Но мне что-то ничего не показалось более простого

Так мы же про второе говорили

(Оффтоп)

У нас говорили "двум запятым семь вёрст не крюк".

[Ktina]

gris в сообщении #673230 писал(а):

Ко второму. Не с той стороны в смысле что можно искать углы, $114.6^{\circ}<\alpha<180^{\circ}-\arcsin \log_3\sqrt 7=117.6^{\circ}$
А разница?

Вы правы, никакой существенной разницы.

(Оффтоп)

Вчера мой мозг дал сбой. Видимо, именно так начинается шизофрения

[ewert]

gris в сообщении #673230 писал(а):

Но мне что-то ничего не показалось более простого

То же самое, но в лоб и короче:

$$\sin1<\frac{\sqrt3}2;\ \ \sqrt3<2\log_3\sqrt7\ \Leftrightarrow\ 3^{\sqrt 3}<7\ \Leftarrow\ 3^{1.75}<7\ \Leftrightarrow\ 3^7<7^4\ \Leftrightarrow\ 2187<2401.$$

[gris]

Вот именно, что то же самое. Я просто стал записывать подробно и с конца. Хотелось бы другой подход. В приниципе ясно, что и логарифм с помощью таблицы степеней, и синус любого угла с помощью половинного деления можно приблизить с любой точностью рациональными числами или квадратичными радикалами, а уж потом долго и муторно возводить в квадрат и переносить до полной победы.
То есть если я на калькуляторе прикинул для подобной задачи два соперничающих выражения и установил, что первое меньше, а потом просто описал практический способ решения задачи, то можно ли это считать решением?
Ну право, на олимпиаде тупые механические действия не должны занимать больше 10-15 минут.
То есть, я подозреваю, что хитроумная Ktina держит в рукаве другое, яркое и остроумное решение.

Я про второе неравенство, конечно.