МО случайного вектора по характеристической функции

[madd123]

Здравствуйте.

Пытаюсь решить следующую задачу:
Случайный вектор $Z = \{X,Y\}^T$ имеет характеристическую функцию $\Psi_z(\lambda_1, \lambda_2) = \exp(\lambda_1 \lambda_2 - \lambda_1^2 - 1.5 \lambda_2^2)$. Найти математическое ожидание $M\{(X-Y)^2\}$.

Наработок практически нет, т.к. мне непонятно самое основное, как найти мат. ожидание случайного вектора по его характеристической функции, в этом как раз вопрос, дальше, как я понимаю, нужно будет умножить найденное мат. ожидание $m_Z$ на строчку $(1; -1)$, а затем полученное число возвести в квадрат, но вот как найти $m_Z$ непонятно.

Просьба помочь разобраться, заранее спасибо.

[ewert]

madd123 в сообщении #671418 писал(а):

мне непонятно самое основное, как найти мат. ожидание случайного вектора по его характеристической функции,

Попробуем начать с простейшего вопроса. Пусть есть характеристическая функция одномерного случайного вектора, т.е. попросту одной случайной величины. Как через неё выражается матожидание этой величины?...

(и ещё для дальнейшего полезно, хоть формально и не обязательно, понимать, почему именно так выражается)

[madd123]

ewert в сообщении #671470 писал(а):

Попробуем начать с простейшего вопроса. Пусть есть характеристическая функция одномерного случайного вектора, т.е. попросту одной случайной величины. Как через неё выражается матожидание этой величины?...

На сколько я помню, так: $m_X = -i\frac{d\Psi(x)}{dx}, x = 0$
Но все равно не понимаю, как тоже самое провернуть с вектором

ewert в сообщении #671470 писал(а):

(и ещё для дальнейшего полезно, хоть формально и не обязательно, понимать, почему именно так выражается)

Не понимаю, не подскажете?

[ewert]

madd123 в сообщении #671477 писал(а):

На сколько я помню, так: $m_X = -i\frac{d\Psi(x)}{dx}, x = 0$
Но все равно не понимаю, как тоже самое провернуть с вектором

Это чуть позже. А пока что чуть дальше для одной величины: а как выражается через характеристическую функцию матожидание квадрата -- и вообще любой следующий начальный момент?...

(и на будущее учтите, что запись типа $\Psi(x)$ неприлична -- аргумент характеристической функции принято обозначать какой угодно, но другой буквой)

[madd123]

$n$-начальный момент для случайной величины через характ. функцию выражается, вроде бы, так:
$\nu_n = M[X^n] = (-i)^n\frac{d^n\Psi(t)}{dt^n}, t = 0$

[ewert]

Прекрасно. Ну вот ровно так же и птички, т.е. случайные векторы: $M[X^nY^m\ldots]$ определяется значением в нуле соответствующей частной производной. А Вам, кроме нескольких такого типа моментов, ничего и не нужно.

[madd123]

Все равно непонятно, можете показать на примере? Если я делаю это сам, то получаю вот такой вот абсурд:

$$m_{Z,0} = -i\left .\frac{d \exp(\lambda_1 \lambda_2 - \lambda_1^2 - 1.5 \lambda_2^2)}{d\lambda_1} \right |_{\lambda_1=0} = -i\lambda_2\exp(-1.5\lambda_2^2)$$

$$m_{Z,1} = -i\left .\frac{d \exp(\lambda_1 \lambda_2 - \lambda_1^2 - 1.5 \lambda_2^2)}{d\lambda_2} \right |_{\lambda_2=0} = -i\lambda_1\exp(-\lambda_1^2)$$

Когда нужны численные значения, я явно чего-то не понимаю..

[ewert]

В нуле -- это в векторном нуле (т.е. в начале координат).

Эти правила не следует зубрить специально. Достаточно помнить, что они в принципе существуют, и тогда они автоматически получаются из формального определения характеристической функции случайного вектора: $\Psi(\vec \vec\lambda)=\int e^{i(z_1\lambda_1+z_2\lambda_2+\ldots)}dP(\vec z)$. Ну и из формального определения моментов, конечно.

[madd123]

ewert в сообщении #671515 писал(а):

В нуле -- это в векторном нуле (т.е. в начале координат).

Эти правила не следует зубрить специально. Достаточно помнить, что они в принципе существуют, и тогда они автоматически получаются из формального определения характеристической функции случайного вектора: $\Psi(\vec \vec\lambda)=\int e^{i(z_1\lambda_1+z_2\lambda_2+\ldots)}dP(\vec z)$. Ну и из формального определения моментов, конечно.

Выходит, что вектор мат. ожидания $Z$ будет нулевым что ли? Тогда совсем непонятно, почему ответ $M((X-Y)^2) = 7$

[ewert]

madd123 в сообщении #671531 писал(а):

Выходит, что вектор мат. ожидания $Z$ будет нулевым что ли? Тогда совсем непонятно, почему ответ $M((X-Y)^2) = 7$

Вторые моменты никак не связаны с первыми, т.е. с матожиданиями. Считайте честно именно вторые.

[madd123]

Получилось, что вектор моментов второго порядка:
$M[Z^2] = (-2; -3)^T$, из этого, как я понимаю, следует, что $M[(X+Y)^2] = -5$, а $M[(X-Y)^2] = 1$, в чем ошибка?

[ewert]

madd123 в сообщении #671550 писал(а):

$M[Z^2] = (-2; -3)^T$

Это ещё что?...

Раскройте скобки в $M[(X-Y)^2]$ и честно находите каждое из трёх слагаемых.

[madd123]

ewert в сообщении #671555 писал(а):

Раскройте скобки в $M[(X-Y)^2]$ и честно находите каждое из трёх слагаемых.

Так?
$M[(X-Y)^2] = M[X^2] - 2M[X]M[Y] + M[Y^2] = 2 - 2\cdot0\cdot0 +3 = 5$
Все равно неверно, наверное потому что в данном случае $M[XY] \ne M[X]M[Y] $? Но как тогда это искать? Мне уже стыдно , похоже совсем элементарных вещей не понимаю.

-- 14.01.2013, 18:54 --

Хотя, похоже понял, $M[XY]$ как смешанная производная ищется? Тогда 7 и получится.

[ewert]

madd123 в сообщении #671559 писал(а):

Хотя, похоже понял, $M[XY]$ как смешанная производная ищется?

Ну наконец-то.