Предел периодической функции

[profrotter]

Если периодическая функция не является постоянной, то её предела при неограниченном уменьшении периода не существует.

Доказательство
Периодическая функция $f(t)$ с периодом $T$ может быть представлена в виде $f(T,t)=f_0(\frac {t}{T})$, где $f_0(t)$ - периодическая функция с единичным периодом. Поскольку рассматриваемая периодическая функция не является постоянной, то на интервале $t\in\left[0,1\right]$ найдутся такие два момента времени $a,b$, что $f_0(a)\neq f_0(b)$.

Обозначим последовательности $T_n^a=\frac {t}{a+n}$ и $T_n^b=\frac {t}{b+n}$.

Рассмотрим предел периодической функции при неограниченном уменьшении периода:

$$\lim\limits_{T\to 0}f(T,t)=\lim\limits_{n\to\infty}f(T_n^a,t)=\lim\limits_{n\to\infty}f_0\left(\frac{t}{\frac{t}{a+n}}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}f_0(a+n)=f_0(a)$$

$$\lim\limits_{T\to 0}f(T,t)=\lim\limits_{n\to\infty}f(T_n^b,t)=\lim\limits_{n\to\infty}f_0\left(\frac{t}{\frac{t}{b+n}}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}f_0(b+n)=f_0(b)$$

Поскольку $f_0(a)\neq f_0(b)$ предела не существует.

1. Верно ли утверждение?

2. Можно ли считать приведённые рассуждения доказательством?

[g______d]

profrotter в сообщении #671188 писал(а):

Если периодическая функция не является постоянной, то её предела при неограниченном уменьшении периода не существует.

Уточните, какой предел имеется в виду. Существует огромное количество способов определить предел функции, и примерно в половине из них он существует.

-- 13.01.2013, 19:53 --

Впрочем, в Вашем случае ясно, что предел имеется в виду поточечный, и утверждение верно.

[alcoholist]

profrotter в сообщении #671188 писал(а):

Если периодическая функция не является постоянной, то её предела при неограниченном уменьшении периода не существует.

Непонятно о чем речь) Если $T$ -- период данной функции, то не всякое число меньшее $T$ будет периодом

-- Вс янв 13, 2013 19:11:58 --

вот, например, какой предел у функции $f(x)=\sin{x}$ при стремлении периода к нулю ($2\pi\to 0$)?

[g______d]

alcoholist в сообщении #671198 писал(а):

profrotter в сообщении #671188 писал(а):

Если периодическая функция не является постоянной, то её предела при неограниченном уменьшении периода не существует.

Непонятно о чем речь)

Судя по доказательству, имелся в виду предел функции $f(t/T)$ при $T\to 0$.

[profrotter]

С синусом так:
$\sin(x)=f(2\pi,x)$,
где $f(T,x)=f_0(\frac {x}{T})$,
а $f_0(x)=\sin(2\pi x)$.
Или $f(T,x)=\sin\left(\frac {2\pi}{T}x\right)$.

-- Вс янв 13, 2013 21:52:03 --

Может как формулировку тогда подправить?

[profrotter]

Представление для периодической функции, которое я испльзовал не всегда верно.

Если я так скажу:

Пусть $f(T,t)=f_0\left(\frac {t}{T}\right)$, где $f_0(t)$ - периодическая функция с единичным периодом, не является постоянной, тогда (поточечный) предел $\lim\limits_{T\to 0}f(T,t)$ не существует.

Нормально будет?

[ewert]

profrotter в сообщении #671309 писал(а):

Нормально будет?

Нормально (за одним небольшим исключением), но бесполезно: это равносильно несуществованию $\lim\limits_{x\to\infty}f_0(x)$, что тривиально.

[profrotter]

Я на открытие то не претендую. Рад был бы просто в учебник заглянуть. Но вот, скажем, у Фихнетгольца не нашёл я этого тривиального факта. У него есть пример с синусом, а вот утверждения про периодическую функцию $\lim\limits_{x\to\infty}f_0(x)$ - нет. Я плохо искал?