Задача про стержень

[Alexey96]

Всем доброго времени суток.Помогите вот с такой задачей, пожалуйста.К сожалению, точного условия я не помню,но оно звучит примерно так:
На горизонтальной плоскости лежит тонкий однородный стержень длины $l$ и массы $m$.На расстоянии $x$ от середины к стержню прикладывают перпендикулярную его оси силу $F$.Определите расстояние $a$ от оси вращения стержня до его середины,если известно,что коэффициент трения стержня о поверхность - $\mu$.

Мои рассуждения: относительно точки вращения,которая будет оставаться неподвижной,моменты сил $F,F_{1}$ и $F_{2}$ будут компенсировать друг друга.Здесь $F_{1}$-сила трения,что действует на часть стержня со стороны приложения силы $F$, а $F_{2}$-сила трения,что действует на часть стержня,вращающуюся в противоположную первой части сторону.Итак, $M_{F}=Fx$. Также:

$$M_{1}=\int\limits_{0}^{\frac{l}{2}+a}\dfrac{\mu mg r}{l} dr=\dfrac{\mu mg (\frac{l}{2}+a)^{2}}{2l}}$$

$$M_{2}=\int\limits_{0}^{\frac{l}{2}-a}\dfrac{\mu mg r}{l} dr=\dfrac{\mu mg (\frac{l}{2}-a)^{2}}{2l}$$

$M_{F}=M_{1}+M_{2} \Rightarrow F=\dfrac{\mu mg \left(l^{2}+4a^{2} \right)}{2l \left(l+2a^{2} \right) } \Rightarrow a=\dfrac{l \left(F \pm \sqrt{F^{2}+2\mu mg F -(\mu mg)^{2} } \right)}{2\mu mg}$

По-моему, что-то неверно.Помогите.

[Alexey96]

Извиняюсь за опечатку: $M_{F}=F(x+a);F=\dfrac{\mu mg \left(l^{2}+4a^{2} \right)}{4l \left(x+a \right) } \Rightarrow a=\dfrac{Fl \pm \sqrt{(Fl)^{2}+4\mu mg F l x -(\mu mg l)^{2} }}{2\mu mg}$
Так мне кто-нибудь поможет?Заранее спасибо.

[nikvic]

Ясно, что недостаточная сила оставит стержень в покое, а избыточная, при сохранении перпендикулярности, вызовет довольно сложное движение.
Видимо, речь идёт о "граничной", и тогда это - задача статики, "на моменты".

[rustot]

как то у вас со знаками при M не так, они же в разные стороны, разность должна быть. и по-моему проще было бы считать только момент $F a$ и момент огрызка длиной $a$ с краю, поскольку моменты остальных двух половинок друг друга уравновешивают

и явно не хватает углового ускорения. для прямолинейного движения вы как бы приравняли? как то так: $F = m a + m g \mu$, а не просто $F=m g \mu$ так и тут должен быть еще и момент инерции на угловое ускорение в равенстве

[Батороев]

rustot в сообщении #670432 писал(а):

как то у вас со знаками при M не так, они же в разные стороны, разность должна быть. и по-моему проще было бы считать только момент $F a$ и момент огрызка длиной $a$ с краю, поскольку моменты остальных двух половинок друг друга уравновешивают

Не согласен. Оба момента сил сопротивления относительно оси вращения направлены против момента силы $F$.

Alexey96 в сообщении #670376 писал(а):

Извиняюсь за опечатку: $M_{F}=F(x+a);F=\dfrac{\mu mg \left(l^{2}+4a^{2} \right)}{4l \left(x+a \right) } $

Получил такое же значение $F$ (если задача из раздела статики).

[rustot]

Батороев в сообщении #670435 писал(а):

Не согласен. Оба момента сил сопротивления относительно оси вращения направлены против момента силы .

да, вы правы, это мне почудилось

Батороев в сообщении #670435 писал(а):

Получил такое же значение (если задача из раздела статики).

ну какой центр вращения может быть в статике. постоянная угловая скорость без ускорения наверное бы была оговорена

[nikvic]

rustot в сообщении #670444 писал(а):

ну какой центр вращения может быть в статике. постоянная угловая скорость без ускорения наверное бы была оговорена

Постоянная угловая скорость не вокруг ЦМ - это уже не статика.

[Батороев]

rustot в сообщении #670444 писал(а):

Батороев в сообщении #670435 писал(а):

Получил такое же значение (если задача из раздела статики).

ну какой центр вращения может быть в статике. постоянная угловая скорость без ускорения наверное бы была оговорена

Собственно, это я и имел в виду в скобках. Смотрю, топик-стартер решает задачу методами статики, вот и подумал, может, она из соответствующего раздела задачника и постоянство скорости определено априори? Чем бабай не шутит!

[Alexey96]

Ну а в итоге?Какой максимальной,ну или минимальной должна быть сила,чтобы было справедливо приведённое мной решение?
Если $F=\dfrac{\mu mg \left(l^{2}+4a^{2} \right)}{4l \left(x+a \right) }$,то,очевидно,что $F_{min}(x)=F \left (\dfrac{l}{2} \right)$,так как $x_{max}=\dfrac{l}{2}$.Далее: $\dfrac{d(F_{min})}{da}=0 \Rightarrow a=l \dfrac{\sqrt{2}-1}{2} \Rightarrow F_{min}=\mu m g (\sqrt{2}-1)$?

[Батороев]

Alexey96 в сообщении #670604 писал(а):

Ну а в итоге?Какой максимальной,ну или минимальной должна быть сила,чтобы было справедливо приведённое мной решение?

Что значит, какой максимальной\минимальной должна быть сила?
Первоначально условие заключалось в том, чтобы определить расстояние $a$ при заданных остальных параметрах. Вы получили промежуточное выражение, из которого при помощи решения квадратного уравнения можно определить искомую величину.
Если теперь задача поменялась, то из полученного Вами выражения получить минимум силы нельзя. Необходимо сначала теперь уже два переменных параметра $x, a$ каким-то образом (каким, не знаю) увязать в один ($x$ или $a$), а затем искать экстремумы полученного выражения.

Если задача имеет практическое значение, то ее необходимо решать, как предлагал rustot.

[Alexey96]

Тогда как же всё-таки можно связать $x$ и $a$?

[Батороев]

Вообще-то задача поменялась существенно. Теперь не мы задаем точку приложения силы, а находим ее самостоятельно.

Заменим рабочую схему на эквивалентную:
Рабочая схема: стержень, ось вращения на расстоянии $(\frac{l}{2}-a)$ от левого конца стержня, слева от точки вращения распределенная нагрузка, направленная вниз, справа - распределенная нагрузка, направленная вверх.
Эквивалентная схема: то же самое, но распределенная нагрузка левой части переносится в правую путем ее поворота вокруг оси вращения на 180 градусов.

Таким образом получаем схему, в которой стержень длиной $(\frac{l}{2}+a)$, подвешен за левый конец и имеет две распределенные нагрузки, одна из которых распределена на всю длину стержня, а вторая - на длине $(\frac{l}{2}-a)$ от левого конца стержня. Обе распределенные нагрузки равны по величине и направлены в одну сторону. Необходимо найти точку приложения равнодействующей силы такую, чтобы величина равнодействующей была минимальной. В данном случае имеем переменную $a$ и искомую $x$.

-- 12 янв 2013 16:16 --

А ведь ерунду написал... не включив с утра мозги!
Эквивалентная схема не годится. Надо работать с рабочей.

[Батороев]

Alexey96
Проанализировал задачу и пришел к выводу, что в том виде, котором Вы ее вспомнили, она не корректна. Задавать силу $F$ нельзя, т.к. она должна быть тоже величиной искомой и равна равнодействующей сил сопротивления. В противном случае стержень кроме вращения будет иметь и поступательное движение. Исходя из сказанного, необходимо признать, что вчерашнее решение было неверное.

В общем, попытаюсь переформулировать Вашу задачу на свой лад. Будет ли моя версия корректной в полной мере, не знаю - не "задачник".

Имеется невесомый стержень (чтоб не учитывать инерцию вращательного движения) длиной $l$, на который при движении по всей длине действуют равномерно распределенная нагрузка силы сопротивления $q$ (природу этой силы расшифровывать не будем). В какой точке необходимо приложить минимальную силу, чтобы стержень приобрел равномерное вращение?

[Alexey96]

Батороев, я даже представления не имею,как решать переформулированную Вами задачу.Подразумевали ли Вы в своём условии наличие трения о поверхность?

[nikvic]

Батороев в сообщении #670662 писал(а):

Имеется невесомый стержень (чтоб не учитывать инерцию вращательного движения) длиной $l$, на который при движении по всей длине действуют равномерно распределенная нагрузка силы сопротивления $q$ (природу этой силы расшифровывать не будем). В какой точке необходимо приложить минимальную силу, чтобы стержень приобрел равномерное вращение?

В таком виде отсутствует параметр условия - точка приложения.
Скорее всего, исходная задача её содержит, и требуется найти центр вращения для минимальной силы. Её величина может и не требоваться - в ответе.