Задача о компактах в топологическом пространстве

[magitian]

Встала передо мной вот такая вот задача: в топологическом пространстве X имеется множество компактов $K_{\alpha},\alpha \in I$, где I -это множество индексов. При этом, $K_{\alpha}$ - следующим свойством: любой конечный набор компактов пересекается. Нужно доказать, что все компакты имеют общую точку.

Утверждается, что это верно для любого топологического пространства Х(? а так ли это? не нужна ли Хаусдорфовость?).

Все мои попытки решить пока привели к решению частной задачи: Эта теорема верна, если Х-хаусдорфово и компактно. Тогда в общих чертах решение выглядит так:
1)Пусть общей точки нет. тогда дополнения к этим компактам представляют собой открытое покрытие Х.
2)Из того, что любой конечный набор пересекается, следует, что нельзя выделить конечное подпокрытие. получаем противоречие

PS у меня такое ощущение, что задача известная и я ее где-то видел.... хотя я могу ошибаться.

[FFFF]

Посмотрите "Элементарную топологию" Виро Нецветаева, раздел 16'3

[magitian]

FFFF в сообщении #669258 писал(а):

Посмотрите "Элементарную топологию" Виро Нецветаева, раздел 16'3

Огромное спасибо за помощь! теперь я уж точно доведу эту задачу до конца.

[Oleg Zubelevich]

берем какой-нибудь компакт $K_x$ и рассматриваем множества $K'_ \alpha=K_x\cap K_\alpha$ это центрированное семейство замкнутых подмножеств компакта $K_x$