2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача о компактах в топологическом пространстве
Сообщение09.01.2013, 14:17 
Встала передо мной вот такая вот задача: в топологическом пространстве X имеется множество компактов $K_{\alpha},\alpha \in I$, где I -это множество индексов. При этом, $K_{\alpha}$ - следующим свойством: любой конечный набор компактов пересекается. Нужно доказать, что все компакты имеют общую точку.

Утверждается, что это верно для любого топологического пространства Х(? а так ли это? не нужна ли Хаусдорфовость?).

Все мои попытки решить пока привели к решению частной задачи: Эта теорема верна, если Х-хаусдорфово и компактно. Тогда в общих чертах решение выглядит так:
1)Пусть общей точки нет. тогда дополнения к этим компактам представляют собой открытое покрытие Х.
2)Из того, что любой конечный набор пересекается, следует, что нельзя выделить конечное подпокрытие. получаем противоречие

PS у меня такое ощущение, что задача известная и я ее где-то видел.... хотя я могу ошибаться.

 
 
 
 Re: Задача о компактах в топологическом пространстве
Сообщение09.01.2013, 14:31 
Посмотрите "Элементарную топологию" Виро Нецветаева, раздел 16'3

 
 
 
 Re: Задача о компактах в топологическом пространстве
Сообщение09.01.2013, 14:54 
FFFF в сообщении #669258 писал(а):
Посмотрите "Элементарную топологию" Виро Нецветаева, раздел 16'3


Огромное спасибо за помощь! теперь я уж точно доведу эту задачу до конца.

 
 
 
 Re: Задача о компактах в топологическом пространстве
Сообщение09.01.2013, 15:40 
берем какой-нибудь компакт $K_x$ и рассматриваем множества $K'_
\alpha=K_x\cap K_\alpha$ это центрированное семейство замкнутых подмножеств компакта $K_x$

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group