помогите решить тройной интеграл

[xpz]

Нужно вычислить интеграл, вводя соответствующую переменную.


$\iiint\limits_{V}\frac{zdxdydz}{\sqrt{x^2+y^2}}, V:x^2+y^2=4y, y+z=4,z\ge0$

Вообще ничего не понимаю в этой теме, помогите разобраться. :(

[cool.phenon]

Решить интеграл - невозможно (с)

Перейдите к цилиндрическим координатам.

[xpz]

получилось так:

$$\int\limits_{0}^{\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{4\sin\varphi} d\rho \int\limits_{0}^{4-y} \frac {zdz} {\rho^2} $$

правильно?

[ewert]

xpz в сообщении #668409 писал(а):

$$\int\limits_{0}^{\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{4\sin\varphi} d\rho \int\limits_{0}^{4-y} \frac {zdz} {\rho^2} $$

правильно?

Потерян якобиан и неправильный знаменатель.

[xpz]

А где он потерян, во втором или первом интеграле? И как правильно записать знаменатель? Помогите пожалуйста!

[AKM]

xpz в сообщении #668419 писал(а):

А где он потерян?

В учебнике наверняка найдётся в нужном месте.
Среди трёх цилиндрических координат игрека нет (см. последний верхний предел интеграла).

[ewert]

AKM в сообщении #668433 писал(а):

Среди трёх цилиндрических координат игрека нет

Это-то как раз неважно, это и позже можно подправить (даже лучше позже).

[xpz]

Тогда как быть со знаменателем?

-- 07.01.2013, 17:50 --

Так?

$$\int\limits_{0}^{\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{4\sin\varphi} d\rho \int\limits_{0}^{4-y} \frac {zdz} {\rho} $$

[cool.phenon]

Осталось только выразить $y=\rho \sin\varphi$ и правильно подставить в знаменатель. Опять неправильно.

[xpz]

У меня получается так:
$\frac {zdz} {\sqrt {x^2+y^2}}$ = $\frac {zdz} {\sqrt {\rho^2 \cos^2 \varphi +\rho^2 \sin^2 \varphi}}$ = $\frac {zdz} {{\rho} \sqrt 1}$ = $\frac {zdz} {\rho}$

Или я что-то не понимаю, поправьте меня пожалуйста!

Или вот еще вариант:

${y=\rho\sin\varphi}$

${x=\rho\cos\varphi}$$

${z=z}$

${dxdydz}= {\rho d \rho d \varphi dz}$

$$\int\limits_{0}^{\pi } d\rho \int\limits_{0}^{4\sin\varphi} d\varphi \int\limits_{0}^{4-z} \frac {\rho zdz} {\rho} $$

[cool.phenon]

Один раз забываете якобиан,второй раз неправильно корень извлекаете. Теперь нужно эти обе ошибки учесть..
Опять же,избавьтесь от игрека. Его здесь уже ВООБЩЕ не должно быть. Вы ведь перешли к новым координатам.

[xpz]

$$\int\limits_{0}^{\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{4\sin\varphi} {\rho} d\rho \int\limits_{0}^{4-z} \frac {zdz} {\rho} $$

Подскажите где ошибка при извлечении корня, извините, но я ее просто не вижу. :(

[cool.phenon]

Вот предыдущее вы уже исправили,подынтегральное выражение правильное. Вот только границы..опять. Судя по всему, $z=y$. Но это же не так.

[xpz]

Правильно?

$$\int\limits_{0}^{\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{4\sin\varphi} d\rho \int\limits_{0}^{4-\rho \sin \varphi} {zdz} $$

[xpz]

xpz в сообщении #668820 писал(а):

Правильно?

$$\int\limits_{0}^{\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{4\sin\varphi} d\rho \int\limits_{0}^{4-\rho \sin \varphi} {zdz} $$

или так:

$$\int\limits_{0}^{\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{4\sin\varphi} d\rho \int\limits_{0}^{4-\rho} {zdz} $$