Не уверен что правильно нашел предел

[Trurlol]

Есть предел: $\lim_{n\to \infty} (\sqrt{n(n+2)} - \sqrt{n^2 - 2n +3})$ умножаю на сопряженное и привожу подобные, получаю: $\lim_{n\to \infty} \frac {4n - 3}{\sqrt{n(n+2)} + \sqrt{n^2 - 2n +3}}$, в знаменателе у первого корня открываю скобки и выношу за корень $n^4$ то же самое и со вторым корнем, выходит: $\lim_{n\to \infty} \frac{4n - 3}{n^4(\sqrt{1 + \frac 2 n}+\sqrt{1 - \frac 2 n + \frac 3 {n^2}})} = \lim_{n\to \infty} \frac {4n - 3}{2n^4}$, делю все на $n^4$ и получаю $\frac {0}{2} = \infty$. В то же время, вольфрам альфа говорит мне что предел равен двум. Кто прав?

[max(Im)]

$\sqrt{n^2} = n^4$

[Whitaker]

Ну умножили на сопряженное и получили какую-то дробь. Теперь вынесите с числителя и знаменателя $n$ и получится у Вас

$$\dfrac{4-\frac{3}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}}$$

Понятно, что предел последней штуки при $n\to \infty$ равен двум. Естественно вольфрам прав

[Trurlol]

Угу, спасибо, жестко сфейлился с корнем :)
$\lim_{n\to \infty} \frac {(n+4)! - (n+2)!}{(n+3)!}$ а вот тут будет предел равен бесконечности?

[Whitaker]

Вынесите в числите и в знаменателе $(n+2)!$

[ewert]

Trurlol в сообщении #667923 писал(а):

$\lim_{n\to \infty} \frac {(n+4)! - (n+2)!}{(n+3)!}$ а вот тут будет предел равен бесконечности?

Естественно. Просто разделите почленно.

[Trurlol]

Большое спасибо.