Задача по теме "многообразия"

[Drimerg]

Пусть тор $T^2$ стандартно вложен в $R^3$, функция $f: T^2 \to S^2$ ставит в соответствие каждой точке $p$ из $T^2$ вектор единичной длины, нормальный к тору $T^2$ в точке $p$. Записать отображение $f$ в координатах. Доказать, что $f$- гладкое отображение.
Может кто-нибудь помочь? Очень нужно.

[мат-ламер]

Что есть $S^2$ и в каких координатах надо записать $f$?

[Drimerg]

$S^2$ - сфера, а про $f$ ничего не могу сказать, так написано в условии задачи

[мат-ламер]

Для начала нужно записать поверхность тора в параметрическом виде.

[Drimerg]

ну, это не сложно https://ru.wikipedia.org/wiki/Тор_(поверхность)

[мат-ламер]

Интуитивное кажется, что нужно взять векторное произведение от координат и нормировать.

[alcoholist]

это гауссово отображение

мат-ламер в сообщении #665255 писал(а):

Интуитивное кажется, что нужно взять векторное произведение от координат и нормировать

ну, разумеется... только не от координат, а от производных по координатам

[Drimerg]

alcoholist в сообщении #665281 писал(а):

это гауссово отображение

мат-ламер в сообщении #665255 писал(а):

Интуитивное кажется, что нужно взять векторное произведение от координат и нормировать

ну, разумеется... только не от координат, а от производных по координатам

так и делал, в результате получил вектор нормали, такой же, как и у сферы..а что делать дальше?

[мат-ламер]

Drimerg в сообщении #666564 писал(а):

такой же, как и у сферы..

В каком смысле такой-же? Что-то сомнительно. (Область определения параметров разве совпадают?).

-- Чт янв 03, 2013 22:04:41 --

мат-ламер в сообщении #666740 писал(а):

а что делать дальше?

Там гладкость просили доказать.

[alcoholist]

Drimerg в сообщении #666564 писал(а):

ак и делал, в результате получил вектор нормали, такой же, как и у сферы..а что делать дальше?

вектору нормали соответствует точка на сфере... ЕЩЕ РАЗ: это гауссово отображение

[Drimerg]

не совсем понятно как записать требуемое отображение...

[alcoholist]

Drimerg в сообщении #666826 писал(а):

не совсем понятно как записать требуемое отображение...

в лоб, по определению

если есть параметризация, то

Drimerg в сообщении #666564 писал(а):

так и делал, в результате получил вектор нормали

предъявите

[Drimerg]

Цитата:

предъявите

ищем вектор нормали
$\\ r(\varphi,\psi)=(x(\varphi,\psi), y(\varphi,\psi), z(\varphi,\psi))\\ r_\varphi=(-rsin\varphi\cos\psi, -rsin\varphi\sin\psi, rcos\varphi)\\ r_\psi=(-(R+rcos\varphi)\sin\psi, (R+rcos\varphi)\cos\psi, 0)\\ n=\frac{[r_\varphi, r_\psi]}{|[r_\varphi, r_\psi]|}=(-\cos\varphi\cos\psi, -\cos\varphi\sin\psi, -\sin\varphi)\\ $

Drimerg в сообщении #664881 писал(а):

функция $f: T^2 \to S^2$ ставит в соответствие каждой точке $p$ из $T^2$ вектор единичной длины, нормальный к тору $T^2$ в точке $p$

alcoholist в сообщении #666769 писал(а):

вектору нормали соответствует точка на сфере... ЕЩЕ РАЗ: это гауссово отображение

тут я немного запутался

[CptPwnage]

Ну типа раз вектор нормали имеет единичную длину, то если поставить его в центр координат, он попадет в какую-то точку на единичной сфере концом, это и будет отображение на сферу

[Drimerg]

То есть мы берем точку на торе, строим вектор нормали в этой точке, смещаем начало этого вектора в центр координат, и смотрим куда попадает конец получившегося вектора на сферу единичного радиуса. Не понимаю, как записать это отображение?