Компактное множество.

[main.c]

Здравствуйте уважаемые форумчане.
Я в общем-то представляю себе что такое открытое покрытие множества, но не представляю себе, что такое компакт. По определению множество $E \subseteq R$ называют компактом, если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Не мог бы кто-нибудь на примерах объяснить, что это такое и с чем это едят?

[olenellus]

main.c в сообщении #666288 писал(а):

По определению множество называют компактом

Нет... По определению множество называют компактным, если оно удовлетворяет тому, что Вы написали.

Компактом же называют хаусдорфово компактное множество.

[main.c]

olenellus в сообщении #666294 писал(а):

main.c в сообщении #666288 писал(а):

По определению множество называют компактом

Нет... По определению множество называют компактным, если оно удовлетворяет тому, что Вы написали.

Компактом же называют хаусдорфово компактное множество.

http://cs6296.userapi.com/u102060840/docs/be09409b7a95/Lektsii_po_matan_IU9_1sem.pdf на странице 25, в самом конце дано это определение.
А по существу вопроса можно что-нибудь услышать?

[olenellus]

У Вас в учебнике речь идёт о метрическом пространстве $\mathbb{R}$ (числовая прямая со стандартным расстоянием). В этом случае справедлива теорема, которая там дальше по ходу текста и доказывается (компактно $\leftrightarrow$ замкнуто и ограничено, как в анекдоте). В этом же случае компакт и компактное пространство суть одно и то же.

Поэтому выбирайте любое замкнутое и ограниченное множество на $\mathbb{R}$ и получите компакт.

[main.c]

Если бы я хотел тупо запомнить, я бы тупо запомнил, а я хочу увидеть пример множеств:
1. Не из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.
2. Из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

[olenellus]

У меня сейчас времени нет. Обещаю более интересные примеры позже. А сейчас вот:

1. Само $\mathbb{R}$. Попробуйте выделить хотябы одно конечное подпокрытие из следующего его открытого покртытия:

$$\{(2k,2k+3)|k\in\mathbb{Z}\}$$

(Упростил)
(Заодно проверьте, что это действительно открытое покрытие.)

2. Множество $\{0\}$.

[Chernoknizhnik]

Чуть более интересный пример компактного множества в $\mathbb R$- это множество $\{0\} \cup\{\frac{1}{n}|n\in \mathbb N\}$. Докажите, что оно компактно.
Введем на бесконечном множестве метрику $d$: $d(x,y)=0$, если $x=y$, $d(x,y)=1$ в остальных случаях. Полученное метрическое пространство некомпактно. Предъявите его покрытие открытыми шарами, которое не содержит конечного покрытия.

[main.c]

olenellus в сообщении #666336 писал(а):

У меня сейчас времени нет. Обещаю более интересные примеры позже. А сейчас вот:

1. Само $\mathbb{R}$. Попробуйте выделить хотябы одно конечное подпокрытие из следующего его открытого покртытия:

$$\{(2k,2k+3)|k\in\mathbb{Z}\}$$

(Упростил)
(Заодно проверьте, что это действительно открытое покрытие.)

2. Множество $\{0\}$.

1. Тут нельзя выделить конечного подпокрытия, потому что само множество $R$ бесконечно, а есть пример того же, но при этом множество конечно?

Chernoknizhnik в сообщении #666345 писал(а):

Чуть более интересный пример компактного множества в $\mathbb R$- это множество $\{0\} \cup\{\frac{1}{n}|n\in \mathbb N\}$. Докажите, что оно компактно.
Введем на бесконечном множестве метрику $d$: $d(x,y)=0$, если $x=y$, $d(x,y)=1$ в остальных случаях. Полученное метрическое пространство некомпактно. Предъявите его покрытие открытыми шарами, которое не содержит конечного покрытия.

Единственное, что мне приходит в голову, чтобы доказать, это воспользоваться теоремой о конечном покрытии, она говорит, что множеств из $R$ компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто.
Это множество ограничено, так как состоит из сходящейся последовательности и $0$. Ну а то что оно замкнуто это вроде как очевидно, но доказать это строго я не могу. По идее нам нужно доказать, что любая его предельная точка содержится в этом множестве.

[Chernoknizhnik]

Попробуйте не пользоваться этой теоремой (критерий компактности в $\mathbb R$). Если покрыть $M=\{0\}\cup \{\frac{1}{n}|n\in\mathbb N\}$ открытыми множествами, то в одно из них (скажем, $U$) попадет $0$. Но тогда в $U$ попадут почти все точки $M$.

[INGELRII]

main.c в сообщении #666357 писал(а):

а есть пример того же, но при этом множество конечно?

А что вы считаете конечным множеством? Вот интервал $(0,1)$ тоже бесконечное множество. Там ух как много точек. Ровно столько же, что и на $\mathbb{R}$.

[main.c]

Chernoknizhnik в сообщении #666366 писал(а):

Попробуйте не пользоваться этой теоремой (критерий компактности в $\mathbb R$). Если покрыть $M=\{0\}\cup \{\frac{1}{n}|n\in\mathbb N\}$ открытыми множествами, то в одно из них (скажем, $U$) попадет $0$. Но тогда в $U$ попадут почти все точки $M$.

За пределами $U$ окажется конечное количество точек, а значит их можно покрыть конечным семейством открытых множеств, а значит оно компактно. Так получается?

INGELRII в сообщении #666369 писал(а):

main.c в сообщении #666357 писал(а):

а есть пример того же, но при этом множество конечно?

А что вы считаете конечным множеством? Вот интервал $(0,1)$ тоже бесконечное множество. Там ух как много точек. Ровно столько же, что и на $\mathbb{R}$.

Вы правы, я имел ввиду ограниченное множество.

[olenellus]

О, уже примеров накидали.

main.c в сообщении #666357 писал(а):

а есть пример того же, но при этом множество конечно ограничено?

Ну, возьмём всё ту же конструкцию, что в примере компакта, но используем её иначе. Рассмотрим множество $(0,1)$ и его открытое покрытие $\left\{\left.\left(\frac{1}{n},1\right)\right|\;n\in\mathbb{N}\right\}$. Во-первых, покажите, что это покрытие. Во-вторых, докажите, что из него нельзя выделить конечного подпокрытия.

Похожий пример: множество $(0,1]$ и его открытое покрытие $\left\{\left.\left(\frac{1}{n},2\right)\right|\;n\in\mathbb{N}\right\}$.

[main.c]

olenellus в сообщении #666385 писал(а):

О, уже примеров накидали.

main.c в сообщении #666357 писал(а):

а есть пример того же, но при этом множество конечно ограничено?

Ну, возьмём всё ту же конструкцию, что в примере компакта, но используем её иначе. Рассмотрим множество $(0,1)$ и его открытое покрытие $\left\{\left.\left(\frac{1}{n},1\right)\right|\;n\in\mathbb{N}\right\}$. Во-первых, покажите, что это покрытие. Во-вторых, докажите, что из него нельзя выделить конечного подпокрытия.

Похожий пример: множество $(0,1]$ и его открытое покрытие $\left\{\left.\left(\frac{1}{n},2\right)\right|\;n\in\mathbb{N}\right\}$.

Тогда уточняющий вопрос, что требуется для того что бы доказать, что данное множество есть покрытие другого множества?

[olenellus]

main.c в сообщении #666387 писал(а):

Тогда уточняющий вопрос, что требуется для того что бы доказать, что данное множество есть покрытие другого множества?

Требуется перечитать введённые в используемой Вами книге определения открытого покрытия (стр. 25) и объединения семейства множеств (стр. 7).

[main.c]

olenellus в сообщении #666399 писал(а):

main.c в сообщении #666387 писал(а):

Тогда уточняющий вопрос, что требуется для того что бы доказать, что данное множество есть покрытие другого множества?

Требуется перечитать введённые в используемой Вами книге определения открытого покрытия (стр. 25) и объединения семейства множеств (стр. 7).

Вы видимо меня не поняли, ну да ладно, разберусь, ну а то что оно покрывает это видно и без доказательства, начало отрезка будет стремиться к $0$, каждое следующее объединение будет захватывать точки всё ближе и ближе к $0$ и в пределе захватит все точки кроме $0$.
Оно ограничено, но не замкнуто, а значит не компактно.