Садистская задача

[Утундрий]

$$A_n \equiv \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin ^n \left( {\operatorname{tg} ^n x} \right) - \operatorname{tg} ^n \left( {\arcsin ^n x} \right)}}{{x^{n^2 + 2} }}$$

$n$ - целое, большее единицы.

Собственно, что тут можно придумать, окромя кумпутера?

P.S. Правило Лопиталя не предлагать!

[Nemiroff]

А почему не разложить в ряд Тейлора?

[Утундрий]

Nemiroff
Допустим, меня интересует $n=2012$

[Nemiroff]

У меня для любого $n$, большего единицы, получилось $n^2/6$

[Утундрий]

Nemiroff
Хорошо получилось. Поделитесь, как именно?

[Nemiroff]

$\tg^n(x)\approx\left(x\left(1+\dfrac{x^2}{3}\right)\right)^n\approx x^n\left(1+\dfrac{nx^2}{3}\right)$
В арксинусе куб не учитывать, потому что $n>1$, а значит $3n>n+2$.
$\arcsin^n(\tg^n(x))\approx\left(x^n\left(1+\dfrac{nx^2}{3}\right)\right)^n\approx x^{n^2}\left(1+\dfrac{n^2x^2}{3}\right)$
Ну и по аналогии второе слагаемое.
Разве не так?

[Утундрий]

Nemiroff в сообщении #665344 писал(а):

Разве не так?

Отчего же, вполне очень даже может быть, что и так.