Многочлены Чебышева-Эрмита

[TehNick]

Докажите, что у многочленов Чебышева-Эрмита $H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$ все корни вещественные и лежат в интервале $(-\sqrt{2n+1},\sqrt{2n+1})$.
Доказывал так:
Рассмотрим функцию $g(x)=e^{-x^2}$. Её предел $\lim_{x\rightarrow\infty} e^{-x^2} = 0$
$\lim_{x\rightarrow\infty} (g^{(j)}(x)) = 0$, где $j=0,1,...,n$. Так как функция $g(x)$ - непрерывна на интервале $(-\infty,\infty)$, имеет конечную производную,то при достаточно малом $\varepsilon > 0$ прямая $y=C+\varepsilon$ или прямая $y=C-\varepsilon$ пересечет $g(x)$ как минимум в 2-х точках. Обозначим эти точки как $p_{1}$ и $p_{2}$. Для функции $g(x)$ на отрезке $[p_{1},p_{2}]$ выполнены все условия теоремы Ролля, следовательно на интервале $(p_{1},p_{2})$(а значит и на интервале $(-\infty,\infty)$) найдется точка $p$, такая, что $g'(p) = 0$. Дальше начинаются проблемы. Если рассматривать точки $p_{1}$ и $p$ (или $p_{2}$ и $p$), то $g'(p_{1})$ $\neq$ $g'(p)$ (также $g'(p_{2})$ $\neq$ $g'(p)$). Следовательно применить теорему Ролля, для того, чтобы найти точки, где $g''=0$ нельзя. Понятно, что если удастся доказать,что у $g^{(n)}(x)$ - $n$ корней,то первая часть задания будет выполнена. Подскажите, пожалуйста, как действовать дальше! Может быть есть следствие из теоремы Ролля для бесконечного интервала, которое можно применить в данной задаче? Как доказать принадлежность корней интервалу $(-\sqrt{2n+1},\sqrt{2n+1})$ даже не знаю.

[ewert]

TehNick в сообщении #664860 писал(а):

выполнены все условия теоремы Ролля,

Это чего-то явно ненужное. А на каком, собственно, отрезке они ортогональны?...

(Подсказка: у любой системы многочленов, ортогональных неважно с каким весом -- все корни лежат внутри промежутка ортогональности, и этот факт достаточно банален.)

[V.V.]

ewert в сообщении #664863 писал(а):

TehNick в сообщении #664860 писал(а):

выполнены все условия теоремы Ролля,

Это чего-то явно ненужное. А на каком, собственно, отрезке они ортогональны?...

(Подсказка: у любой системы многочленов, ортогональных неважно с каким весом -- все корни лежат внутри промежутка ортогональности, и этот факт достаточно банален.)

Информация к размышлению ewert'у.
Ортогональны многочлены Эрмита на всей числовой оси.

[TehNick]

В первом семестре у нас еще не было ни ортогональных многочленов, ни интегралов, поэтому могу пользоваться лишь тем, что знаю. Задача, кстати, находится в разделах "Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши" и "Применение производных к исследованию функций". А можно ли как-нибудь из $f(p_{1}) = f(p_{2})$ вывести $f'(p_{1}) = f'(p_{2})$?

[V.V.]

TehNick, посмотрите на последний ненулевой коэффициент и оцените, на каком отрезке $|x|\leqslant a$ могут лежать корни многочлена. Точнее, надо доказать неравенство, что $a<\sqrt{2n+1}$. По индукции.

[TehNick]

Если я правильно понимаю, то последний ненулевой коэффициент это коэффициент при старшей степени, а он будет равен $(-1)^{n}2^n$, что никак не меньше $\sqrt{2n+1}$. Если брать свободный коэффициент, то он еще больше. Может быть можно как-нибудь применить теорему Лагранжа о вещественных корнях полинома?

[V.V.]

Наоборот, надо смотреть на коэффициент при самой маленькой степени.