Теория групп, циклические группы, ядро и образ гомоморфизма

[defolt87]

Здравствуйте. Это мой первый вопрос на форуме так что заранее извиняюсь, если он некорректен.
Вопрос следующий. Помогите разобраться с задачей:
"постройте решетку ядер всех гомоморфизмов из циклической группы А порядка 10 в циклическую группу Б порядка 30".
Меня интересует чем определяются гомоморфизмы из А в В и сколько их будет? Ну и с ядром помощь не помешала бы))
-Рассуждаю следующим образом - образом гомоморфизма будет подгруппы группы В, по теореме Лагража их будет 8 две тривиальных, шесть с порядками 2, 3, 5, 6, 10, 15. Значит гомоморфизмов будет 8?

[AV_77]

Может ли порядок образа $A$ быть больше порядка группа $A$? И какие вообще значения этот самый порядок может принимать в соответствии с упомянутой вами теоремой Лагранжа?

[defolt87]

Нет не может(( Порядок группы А в данном случае равен 10 спасибо за ответ. Значит порядок образов в Б меньше либо равен 10?

[AV_77]

defolt87 в сообщении #664583 писал(а):

Значит порядок образов в Б меньше либо равен 10?

Как минимум. Если вы все-таки воспользуетесь теоремой Лагранжа, то найдете еще исключения.

[defolt87]

и кратен 10 так? если да то таких подгрупп 3(порядки 1, 2, 5)?

[AV_77]

Не кратен, конечно, а делит. И одну подгруппу потеряли.

[defolt87]

1, 2, 5, 10)), спасибо за поправку (на счет делит).
Тогда образы:
{0}, {0, 15}, {0, 6, 12, 18, 24}, {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}.
А как определится с ядром? (Теоретически что такое ядро знаю).

[AV_77]

defolt87 в сообщении #664590 писал(а):

Теоретически что такое ядро знаю

А в чем тогда сложности? Прям по определению попробуйте.

[defolt87]

ну и при гомоморфизме f:А -> e ядро само множество А как я понимаю а вот в остальных случаях проблема((

-- 27.12.2012, 20:31 --

Вот допустим берем группу А и отображаем в подгруппу В {0, 15}, какие элементы из А перейдут в нуль а какие в 15 помогите пожалуйста, дальше попробую сам разобраться

[AV_77]

Ну так что такое ядро? Может оно не просто подмножество, а что-то большее?

[defolt87]

Все элементы прообраза которые переходят в нуль, если я не ошибаюсь

[AV_77]

Так. А что эти элементы образуют?

[defolt87]

Да где - то читал что образ ядра инвариантная подгруппа, что такое инвариантная подгруппа я не знаю, ну то что это подгруппа прообраза думаю это важно?))

-- 27.12.2012, 20:49 --

или я все напутал?

[AV_77]

defolt87 в сообщении #664603 писал(а):

Да где - то читал что образ ядра инвариантная подгруппа, что такое инвариантная подгруппа я не знаю, ну то что это подгруппа прообраза думаю это важно?))

Так может стоит почитать, что такое ядро более подробно?

[defolt87]

Да наверно надо, но там кроме определения мало что написано((