Задача по матстату

[Ward]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

$X_i=\theta+\dfrac{Y_i}{Y_i+Z_i}$, где $Y_i$ и $Z_i$ - независимые показательные случайные величины, не обязательно распределенные одинаково. Предложите состоятельную оценку для $\theta$

Помогите пожалуйста.

[Henrylee]

Наблюдаемые величины $X_i$?

[Ward]

Да

[Henrylee]

Ну найдите распределение правой части, потом каким-нибудь стандартным методом. Например, если $Y$ и $Z$ одинаково распределены, правая часть имеет равномерное распределение на отрезке $[\theta,\theta+1]$, и, воспользовавшись методом моментов, можем получить вот такую оценку:
$\theta^*=\overline{X}-\frac12$.
Для общего случая сами.

[Евгений Машеров]

А что известно про $Y$ и $Z$? Если совсем ничего, кроме распределения с неизвестными в обоих случаях параметрами, то, возможно, ничего кроме $\min X_i$

[--mS--]

Евгений Машеров в сообщении #663923 писал(а):

... то, возможно, ничего кроме $\min X_i$

Такая очевидная во всех смыслах оценка не пришла в голову Чувствую себя полным ничтожеством

Из тех же соображений ещё $\max X_i - 1$. Причём лучшей (во всех разумных смыслах - например, в с.к.с.) будет та или другая в зависимости от того, у какой из показательных величин больше параметр. Если $\mathsf EY_1>\mathsf EZ_1$ (или матожидание дроби больше половины), то $\max X_i - 1$ лучше. Если наоборот - минимум лучше.

Поэтому (в порядке развлечения) можно устроить ещё лучшую оценку, чем каждая в отдельности, взяв

$$\theta^* = X_{(1)}\cdot I\left(\overline X - X_{(1)} \leqslant \frac12\right)+(X_{(n)}-1)\cdot I\left(\overline X - X_{(1)} > \frac12\right),$$

т.е. или ту, или другую в зависимости от того, больше или меньше половины $\overline X - X_{(1)}$. Или, ещё одну - наоборот, в зависимости от того, меньше или больше половины $\overline X - X_{(n)}$.

[mad1math]

(Оффтоп)

Интересно - почему у меня иногда размывается кусок формулы...(или это не только у меня?)

[Евгений Машеров]

У меня нормально показывает.

[Александрович]

mad1math в сообщении #664349 писал(а):

(Оффтоп)

Интересно - почему у меня иногда размывается кусок формулы...(или это не только у меня?)

То что у вас показано, и у меня размыто. Причём всё, а не только красным цветом обозначенное. В исходном тексте всё нормально.

[Toucan]

(Оффтоп)

mad1math в сообщении #664349 писал(а):

Интересно - почему у меня иногда размывается кусок формулы...(или это не только у меня?)

Обсуждалось здесь: «Chrome размазывает формулы»